disequazione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Nadal21

disequazione

Messaggio da Nadal21 »

Siano $ x $, $ y $ e $ z $ tre numeri reali positivi t.c. $ \quad x+y+z= xy+xz+yz $

dimostrare che

$ (x+1)(y+1)(z+1) \geq 8 $
Nadal21

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 »

Nessun aiuto :?: :roll:
erFuricksen
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Re: disequazione

Messaggio da erFuricksen »

Beh con la disuguaglianza di McLaurin sul vincolo trovi facilmente $AM \ge 1$ Quindi svolgendo la tesi ti riconduci a dover dimostrare $xyz \ge 1$ che viene facilmente per bunching su $(x+y+z)^3$
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
darkcrystal
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Re: disequazione

Messaggio da darkcrystal »

... salvo che $xyz \geq 1$ è falso, almeno se non mi sbaglio: prendi $x=y=2$ e $z=0$. Sta proprio lì tutto il problema!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

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MATHia
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Re: disequazione

Messaggio da MATHia »

darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
Ma non dovevano essere positivi? :D
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?
darkcrystal
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Re: disequazione

Messaggio da darkcrystal »

MATHia ha scritto:
darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
Ma non dovevano essere positivi? :D
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?
Uff, ok, $z=\varepsilon$ "piccolo" e $x,y$ che rispettano quello che devono: per continuità, se $\varepsilon$ è sufficientemente vicino a zero questo darà un controesempio a $xyz \geq 1$. Comunque, visto che fate i pignoli: $x=y=19/10$ e $z=19/280$ rispettano il vincolo, ma $xyz = \frac{6859}{28000} < 1$.

EDIT: perché sia chiaro - la disuguaglianza è vera! E' solo la "dimostrazione" di erFuricksen che mi lascia perplesso.
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Nadal21

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 »

Meno male! :roll: Pensavo fosse un esercizio banale che io (caprone!) non riesco a risolvere :oops: . Invece, sembra...., non sia semplicisssimo. :mrgreen:
scambret
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Re: disequazione

Messaggio da scambret »

Per un aiuto ben poco elegante, guarda ipotesi e tesi coi conti fatti. Simmetria dappertutto a cosa è uguale?
Testo nascosto:
Conti + le solite disugaglianze che coinvolgono cose simmetriche
erFuricksen
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Re: disequazione

Messaggio da erFuricksen »

Sì scusate, confesso di averla fatta a occhio e non aver fatto i conti quindi ho invertito il segno di una disuguaglianza! Appena arrivo ad una soluzione elementare prometto di rimediare! (nel frattempo ne ho trovata una non elementare che preferirei evitare di postare per un problema così standard)
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Nadal21

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 »

Io ci ho provato, ma ad una soluzione "elementare" non riesco ad arrivarci :oops:

Non so cosa non riesco a vedere :!:
erFuricksen
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Re: disequazione

Messaggio da erFuricksen »

Ok:
Testo nascosto:
Omogeneizzi tutto moltiplicando per $ {xy+xz+yz} \over {x+y+z} $, tanti conti e poi Bunching
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
AlexThirty
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Re: disequazione

Messaggio da AlexThirty »

erFuricksen ha scritto:Ok:
Testo nascosto:
Omogeneizzi tutto moltiplicando per $ {xy+xz+yz} \over {x+y+z} $, tanti conti e poi Bunching
Quindi ancora niente che mi piaccia :(
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
scambret
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Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
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Re: disequazione

Messaggio da scambret »

Beh però non è cosi da sottovalutare passare a qualcosa di tutto uguale di grado e poi conti + bunching. Anche perché i conti sono (relativamente) pochi.
Nadal21

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 »

Qualcuno potrebbe inserire un post con questi "conti + bunching" :?: Grazie :oops: :D
MATHia
Messaggi: 90
Iscritto il: 11 apr 2014, 01:08

Re: disequazione

Messaggio da MATHia »

Dunque, facciamo questi conti:
tutte le sommatorie indicate sono da considerarsi simmetriche, per cui scriverò $\sum$ al posto di $\sum_{sym}$. Sfruttiamo il vincolo in questo modo: da $x+y+z=xy+yz+zx$ si ricava $c:=\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=1$. Essendo $c=1$, possiamo sfruttarlo per omogeneizzare la tesi, che si può riscrivere come
$$xyz+2c(xy+yz+zx)\stackrel{?}{\ge}7c^3 \iff xyz(x+y+z)^3+2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2\stackrel{?}{\ge} 7(xy+yz+zx)^3 $$
Ora, il bello dell'ultima disequazione da dimostrare è che è omogenea in $x,y,z$, qunidi se facciamo i conti e scriviamo tutto in funzione di somme simmetriche, abbiamo la speranza di poter finire con Bunching. Svolgendo i conti, si trova
$$xyz(x+y+z)^3=\frac{1}{2}\sum{x^4yz}+3\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
$$2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2=2\sum{x^4y^2}+2\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+16\sum{x^3y^2z}+5\sum{x^2y^2z^2}$$
$$7(xy+yz+zx)^3=\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
Dunque la tesi si può riscrivere come
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+19\sum{x^3y^2z}+6\sum{x^2y^2z^2}\stackrel{?}{\ge}\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
ossia
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\stackrel{?}{\ge}\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+2\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
Per Bunching, valgono $2\sum{x^4y^2}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+\frac{1}{2}\sum{x^3y^2z}$, $\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$, dalla cui somma segue immediatamente la tesi.
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