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disequazione

Inviato: 10 apr 2016, 19:14
da Nadal21
Siano $ x $, $ y $ e $ z $ tre numeri reali positivi t.c. $ \quad x+y+z= xy+xz+yz $

dimostrare che

$ (x+1)(y+1)(z+1) \geq 8 $

Re: disequazione

Inviato: 11 apr 2016, 18:20
da Nadal21
Nessun aiuto :?: :roll:

Re: disequazione

Inviato: 11 apr 2016, 22:00
da erFuricksen
Beh con la disuguaglianza di McLaurin sul vincolo trovi facilmente $AM \ge 1$ Quindi svolgendo la tesi ti riconduci a dover dimostrare $xyz \ge 1$ che viene facilmente per bunching su $(x+y+z)^3$

Re: disequazione

Inviato: 11 apr 2016, 23:36
da darkcrystal
... salvo che $xyz \geq 1$ è falso, almeno se non mi sbaglio: prendi $x=y=2$ e $z=0$. Sta proprio lì tutto il problema!

Re: disequazione

Inviato: 11 apr 2016, 23:43
da MATHia
darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
Ma non dovevano essere positivi? :D
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?

Re: disequazione

Inviato: 12 apr 2016, 00:10
da darkcrystal
MATHia ha scritto:
darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
Ma non dovevano essere positivi? :D
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?
Uff, ok, $z=\varepsilon$ "piccolo" e $x,y$ che rispettano quello che devono: per continuità, se $\varepsilon$ è sufficientemente vicino a zero questo darà un controesempio a $xyz \geq 1$. Comunque, visto che fate i pignoli: $x=y=19/10$ e $z=19/280$ rispettano il vincolo, ma $xyz = \frac{6859}{28000} < 1$.

EDIT: perché sia chiaro - la disuguaglianza è vera! E' solo la "dimostrazione" di erFuricksen che mi lascia perplesso.

Re: disequazione

Inviato: 12 apr 2016, 09:29
da Nadal21
Meno male! :roll: Pensavo fosse un esercizio banale che io (caprone!) non riesco a risolvere :oops: . Invece, sembra...., non sia semplicisssimo. :mrgreen:

Re: disequazione

Inviato: 12 apr 2016, 14:42
da scambret
Per un aiuto ben poco elegante, guarda ipotesi e tesi coi conti fatti. Simmetria dappertutto a cosa è uguale?
Testo nascosto:
Conti + le solite disugaglianze che coinvolgono cose simmetriche

Re: disequazione

Inviato: 12 apr 2016, 18:08
da erFuricksen
Sì scusate, confesso di averla fatta a occhio e non aver fatto i conti quindi ho invertito il segno di una disuguaglianza! Appena arrivo ad una soluzione elementare prometto di rimediare! (nel frattempo ne ho trovata una non elementare che preferirei evitare di postare per un problema così standard)

Re: disequazione

Inviato: 13 apr 2016, 15:37
da Nadal21
Io ci ho provato, ma ad una soluzione "elementare" non riesco ad arrivarci :oops:

Non so cosa non riesco a vedere :!:

Re: disequazione

Inviato: 14 apr 2016, 20:48
da erFuricksen
Ok:
Testo nascosto:
Omogeneizzi tutto moltiplicando per $ {xy+xz+yz} \over {x+y+z} $, tanti conti e poi Bunching

Re: disequazione

Inviato: 14 apr 2016, 21:19
da AlexThirty
erFuricksen ha scritto:Ok:
Testo nascosto:
Omogeneizzi tutto moltiplicando per $ {xy+xz+yz} \over {x+y+z} $, tanti conti e poi Bunching
Quindi ancora niente che mi piaccia :(

Re: disequazione

Inviato: 15 apr 2016, 14:34
da scambret
Beh però non è cosi da sottovalutare passare a qualcosa di tutto uguale di grado e poi conti + bunching. Anche perché i conti sono (relativamente) pochi.

Re: disequazione

Inviato: 19 apr 2016, 11:27
da Nadal21
Qualcuno potrebbe inserire un post con questi "conti + bunching" :?: Grazie :oops: :D

Re: disequazione

Inviato: 19 apr 2016, 23:13
da MATHia
Dunque, facciamo questi conti:
tutte le sommatorie indicate sono da considerarsi simmetriche, per cui scriverò $\sum$ al posto di $\sum_{sym}$. Sfruttiamo il vincolo in questo modo: da $x+y+z=xy+yz+zx$ si ricava $c:=\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=1$. Essendo $c=1$, possiamo sfruttarlo per omogeneizzare la tesi, che si può riscrivere come
$$xyz+2c(xy+yz+zx)\stackrel{?}{\ge}7c^3 \iff xyz(x+y+z)^3+2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2\stackrel{?}{\ge} 7(xy+yz+zx)^3 $$
Ora, il bello dell'ultima disequazione da dimostrare è che è omogenea in $x,y,z$, qunidi se facciamo i conti e scriviamo tutto in funzione di somme simmetriche, abbiamo la speranza di poter finire con Bunching. Svolgendo i conti, si trova
$$xyz(x+y+z)^3=\frac{1}{2}\sum{x^4yz}+3\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
$$2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2=2\sum{x^4y^2}+2\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+16\sum{x^3y^2z}+5\sum{x^2y^2z^2}$$
$$7(xy+yz+zx)^3=\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
Dunque la tesi si può riscrivere come
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+19\sum{x^3y^2z}+6\sum{x^2y^2z^2}\stackrel{?}{\ge}\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
ossia
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\stackrel{?}{\ge}\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+2\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
Per Bunching, valgono $2\sum{x^4y^2}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+\frac{1}{2}\sum{x^3y^2z}$, $\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$, dalla cui somma segue immediatamente la tesi.