[Cesenatico 2016 - 5] Definitivamente...
Inviato: 09 mag 2016, 22:42
Sia $x_0,x_1,x_2,\ldots$ una successione di numeri razionali definita per ricorrenza nella maniera seguente: $x_0$ è un numero razionale qualunque, e, per $n\ge0$,
$x_{n+1}=\left|\frac{x_n}2-1\right|$ se il numeratore di $x_n$ è pari,
$x_{n+1}=\left|\frac1{x_n}-1\right|$ se il numeratore di $x_n$ è dispari,
dove per numeratore di un numero razionale si intende quello della frazione ridotta ai minimi termini. Dimostrare che per ogni valore di $x_0$:
(a) la successione contiene solo un numero finito di termini distinti tra loro;
(b) la successione contiene esattamente uno tra i numeri $0$ e $⅔$ (ovvero: o esiste un indice $k$ tale che $x_k=0$, oppure esiste un indice $m$ tale che $x_m=⅔$, ma non esistono entrambi).
$x_{n+1}=\left|\frac{x_n}2-1\right|$ se il numeratore di $x_n$ è pari,
$x_{n+1}=\left|\frac1{x_n}-1\right|$ se il numeratore di $x_n$ è dispari,
dove per numeratore di un numero razionale si intende quello della frazione ridotta ai minimi termini. Dimostrare che per ogni valore di $x_0$:
(a) la successione contiene solo un numero finito di termini distinti tra loro;
(b) la successione contiene esattamente uno tra i numeri $0$ e $⅔$ (ovvero: o esiste un indice $k$ tale che $x_k=0$, oppure esiste un indice $m$ tale che $x_m=⅔$, ma non esistono entrambi).