Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da jordan » 06 feb 2017, 17:30

(6. Da qui) Siano reali $x,y,z>0$ tali che $x+y+z=\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}+\sqrt[5]{z}$. Mostrare che $x^xy^yz^z \ge 1$.
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Talete
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da Talete » 25 apr 2017, 15:58

Questo è uno dei problemi più belli che io abbia mai visto.

Sia $r:=1/5$. Notiamo che $0<r<1$. Sia inoltre $s:=x+y+z=x^r+y^r+z^r$.

Applichiamo la disuguaglianza di AM-GM pesata ai tre numeri $x^{r-1}$, $y^{r-1}$ e $z^{r-1}$, con pesi uguali a $x$, $y$ e $z$. Allora

\[s=x\cdot x^{r-1}+y\cdot y^{r-1}+z\cdot z^{r-1}\ge s\cdot\sqrt[s]{\left(x^x y^y z^z\right)^{r-1}}.\]

Ora, sia $p:=x^xy^yz^z$. Abbiamo trovato che

\[\sqrt[s]{p^{r-1}}\le1,\]

e siccome l'esponente $r-1$ è negativo, si ha che $p\ge1$, che è la tesi.
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Vinci
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da Vinci » 25 apr 2017, 16:45

Cosa significa applicare $AM-GM$ pesata?

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Sirio
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da Sirio » 25 apr 2017, 16:58

Significa che le due medie sono pesate. Ovvero, nel caso specifico, che la media aritmetica è:
$\dfrac{x\cdot x^{r-1}+y\cdot y^{r-1}+z\cdot z^{r-1}}{x+y+z}$
E che la media geometrica è:
$\left(\left(x^{r-1}\right)^x\cdot\left(y^{r-1}\right)^y\cdot\left(z^{r-1}\right)^z\right)^{\frac 1 {x+y+z}}$
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

Vinci
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da Vinci » 25 apr 2017, 21:35

Ho capito grazie mille. :)

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Sirio
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da Sirio » 25 apr 2017, 22:18

Talete ha scritto:
25 apr 2017, 15:58
$\sqrt[s]{p^{r-1}}\le1$
Giusto una domanda formale... A me hanno detto che la radice era definita solo per indici interi positivi. È vero quello che mi hanno detto o è giusto quello che ha scritto Talete per come l'ha scritto lui?
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

fph
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$

Messaggio da fph » 25 apr 2017, 23:00

Sirio ha scritto:
25 apr 2017, 22:18
Talete ha scritto:
25 apr 2017, 15:58
$\sqrt[s]{p^{r-1}}\le1$
Giusto una domanda formale... A me hanno detto che la radice era definita solo per indici interi positivi. È vero quello che mi hanno detto o è giusto quello che ha scritto Talete per come l'ha scritto lui?
Se $a$ non è intero si scrive $x^{1/a}$ più spesso di $\sqrt[a]{x}$, ma le due cose sono equivalenti. Ho letto anche $\sqrt[-2]{x}$ proprio recentemente, ma ha fatto storcere un po' il naso anche a me. :roll:
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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