Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
(6. Da qui) Siano reali $x,y,z>0$ tali che $x+y+z=\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}+\sqrt[5]{z}$. Mostrare che $x^xy^yz^z \ge 1$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Questo è uno dei problemi più belli che io abbia mai visto.
Sia $r:=1/5$. Notiamo che $0<r<1$. Sia inoltre $s:=x+y+z=x^r+y^r+z^r$.
Applichiamo la disuguaglianza di AM-GM pesata ai tre numeri $x^{r-1}$, $y^{r-1}$ e $z^{r-1}$, con pesi uguali a $x$, $y$ e $z$. Allora
\[s=x\cdot x^{r-1}+y\cdot y^{r-1}+z\cdot z^{r-1}\ge s\cdot\sqrt[s]{\left(x^x y^y z^z\right)^{r-1}}.\]
Ora, sia $p:=x^xy^yz^z$. Abbiamo trovato che
\[\sqrt[s]{p^{r-1}}\le1,\]
e siccome l'esponente $r-1$ è negativo, si ha che $p\ge1$, che è la tesi.
Sia $r:=1/5$. Notiamo che $0<r<1$. Sia inoltre $s:=x+y+z=x^r+y^r+z^r$.
Applichiamo la disuguaglianza di AM-GM pesata ai tre numeri $x^{r-1}$, $y^{r-1}$ e $z^{r-1}$, con pesi uguali a $x$, $y$ e $z$. Allora
\[s=x\cdot x^{r-1}+y\cdot y^{r-1}+z\cdot z^{r-1}\ge s\cdot\sqrt[s]{\left(x^x y^y z^z\right)^{r-1}}.\]
Ora, sia $p:=x^xy^yz^z$. Abbiamo trovato che
\[\sqrt[s]{p^{r-1}}\le1,\]
e siccome l'esponente $r-1$ è negativo, si ha che $p\ge1$, che è la tesi.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Cosa significa applicare $AM-GM$ pesata?
Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Significa che le due medie sono pesate. Ovvero, nel caso specifico, che la media aritmetica è:
$\dfrac{x\cdot x^{r-1}+y\cdot y^{r-1}+z\cdot z^{r-1}}{x+y+z}$
E che la media geometrica è:
$\left(\left(x^{r-1}\right)^x\cdot\left(y^{r-1}\right)^y\cdot\left(z^{r-1}\right)^z\right)^{\frac 1 {x+y+z}}$
$\dfrac{x\cdot x^{r-1}+y\cdot y^{r-1}+z\cdot z^{r-1}}{x+y+z}$
E che la media geometrica è:
$\left(\left(x^{r-1}\right)^x\cdot\left(y^{r-1}\right)^y\cdot\left(z^{r-1}\right)^z\right)^{\frac 1 {x+y+z}}$
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Ho capito grazie mille.
Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Giusto una domanda formale... A me hanno detto che la radice era definita solo per indici interi positivi. È vero quello che mi hanno detto o è giusto quello che ha scritto Talete per come l'ha scritto lui?
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
Re: Disuguaglianza $x^xy^yz^z \ge 1$
Se $a$ non è intero si scrive $x^{1/a}$ più spesso di $\sqrt[a]{x}$, ma le due cose sono equivalenti. Ho letto anche $\sqrt[-2]{x}$ proprio recentemente, ma ha fatto storcere un po' il naso anche a me.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]