Almeno un $a_i=1/2$

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3968
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Almeno un $a_i=1/2$

Messaggio da jordan » 06 feb 2017, 17:33

(8. Da qui) Dati $a_1,\ldots,a_n \in (0,1)$, definiamo
$$
f(I)=\prod_{i \in I}a_i \cdot \prod_{j\notin I}(1-a_j)
$$
per ogni $I\subseteq \{1,\ldots,n\}$. Sapendo che
$$
\sum_{\substack{I\subseteq \{1,\ldots,n\} \\ |I| \text{ dispari }}}f(I)=\frac{1}{2},
$$
mostrare che almeno un $a_i$ deve essere $\frac{1}{2}$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1011
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Re: Almeno un $a_i=1/2$

Messaggio da Simo_the_wolf » 13 mar 2017, 16:07

Molto simpatico!
Testo nascosto:
$ \displaystyle 1= \prod_{ i =1}^n ((1-a_i) + a_i ) = \sum_{|I| \text{ pari}} f(I) + \sum_{|I| \text{ dispari}} f(I) $

Quindi $ \sum_{|I| \text{ pari}} f(I) = \sum_{|I| \text{ dispari}} f(I) = 1/2 $. Ma allora

$ \displaystyle \prod_{i=1}^n (1-2a_i) = \prod_{ i =1}^n ((1-a_i) - a_i ) = \sum_{|I| \text{ pari}} f(I) - \sum_{|I| \text{ dispari}} f(I)=0 $

E quindi almeno uno dei fattori nella produttoria è nullo ma quindi almeno uno degli $ a_i $ è uguale a $ 1/2 $. Notare che in effetti si potrebbe prendere anche che $ a_i \in \mathbb{C} $, essendo dei calcoli puramente algebrici

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3968
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Almeno un $a_i=1/2$

Messaggio da jordan » 15 mar 2017, 15:30

Ottimo Simo ;)
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
Anér
Messaggi: 710
Iscritto il: 03 giu 2008, 21:16
Località: Sabaudia

Re: Almeno un $a_i=1/2$

Messaggio da Anér » 15 mar 2017, 18:44

Riformulo e rilancio. Abbiamo $n$ monete, ognuna ha probabilità $a_i$ di dare testa (ma per noi la testa vale 1) e $1-a_i$ di dare croce (ma per noi la croce vale 0). Se lanciamo le monete, la probabilità che la somma sia pari è uguale a quella che la somma sia dispari. Mostrare che almeno una moneta è equilibrata.

Ora si prendano $n$ dadi a tre facce: ognuno ha probabilità $a_i$ di dare testa (che per noi vale 1), $b_i$ di dare croce (che per noi vale 2) e $1-a_i-b_i$ di dare l'uomo di Vitruvio (che per noi vale 3). Se lanciamo i dadi, le probabilità che la somma sia rispettivamente congrua a 1, 2 o 3 modulo 3 sono tutte uguali. Allora almeno un dado è equilibrato!

Purtroppo ci si ferma a 3 facce...
Sono il cuoco della nazionale!

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti