Lati di un triangolo
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Lati di un triangolo
Se $ a$, $ b$, $ c$ sono i lati di un triangolo, dimostrare che
$ \dfrac {3\left(a^4+{} b^4+{} c^4\right)}{\left(a^2+{} b^2+{} c^2\right)^2}+ \dfrac {bc+{} ca+{} ab}{a^2+{} b^2+c^2}\geq 2$.
$ \dfrac {3\left(a^4+{} b^4+{} c^4\right)}{\left(a^2+{} b^2+{} c^2\right)^2}+ \dfrac {bc+{} ca+{} ab}{a^2+{} b^2+c^2}\geq 2$.
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- Gerald Lambeau
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Re: Lati di un triangolo
Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Lati di un triangolo
Ma se sono lati di un triangolo viene in baricentricheGerald Lambeau ha scritto: ↑14 giu 2017, 14:57 Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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- Gerald Lambeau
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Re: Lati di un triangolo
Ma se non lo fossero sarebbe algebra pura, e a te piace l'algebra puraTalete ha scritto: ↑15 giu 2017, 01:34Ma se sono lati di un triangolo viene in baricentricheGerald Lambeau ha scritto: ↑14 giu 2017, 14:57 Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.
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Re: Lati di un triangolo
Testo nascosto:
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Re: Lati di un triangolo
Scusa Talete ma non ti seguo, cioé hai usato le baricentriche oppure no? Perché anche in caso negativo non riesco a capire la tua notazione e cosa intendi...
Re: Lati di un triangolo
No, non ho usato le baricentriche. La mia era una battuta, difficilmente (a meno di casi particolari) si usano le baricentriche per risolvere disuguaglianze.
Io ho usato la notazione compatta per le somme simmetriche, e cioè:
\[[r,s,t]=a^rb^sc^t+a^rb^tc^s+a^tb^rc^s+a^tb^sc^r+a^sb^tc^r+a^sb^rc^t.\]
La disuguaglianza di Schur ci dice che, per ogni $r\ge1$, si ha che
\[[r+2,0,0]+[r,1,1]\ge[r+1,1,0]\]
mentre la disuguaglianza di Muirhead ci dice che, se $r\ge r'$, $r+s\ge r'+s'$ e $r+s+t=r'+s'+t'$, allora
\[[r,s,t]\ge[r',s',t'].\]
Io ho semplicemente applicato Schur con $r=2$ e Muirhead con $r=3$, $s=1$, $t=0$, $r'=2$, $s'=2$ e $t'=0$.
Io ho usato la notazione compatta per le somme simmetriche, e cioè:
\[[r,s,t]=a^rb^sc^t+a^rb^tc^s+a^tb^rc^s+a^tb^sc^r+a^sb^tc^r+a^sb^rc^t.\]
La disuguaglianza di Schur ci dice che, per ogni $r\ge1$, si ha che
\[[r+2,0,0]+[r,1,1]\ge[r+1,1,0]\]
mentre la disuguaglianza di Muirhead ci dice che, se $r\ge r'$, $r+s\ge r'+s'$ e $r+s+t=r'+s'+t'$, allora
\[[r,s,t]\ge[r',s',t'].\]
Io ho semplicemente applicato Schur con $r=2$ e Muirhead con $r=3$, $s=1$, $t=0$, $r'=2$, $s'=2$ e $t'=0$.
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Re: Lati di un triangolo
Si ora é chiaro la Schur mi sembra ci sia sul Gobbino, basta quella o ci sono altre fonti dove viene spiegata meglio? Per la Muirhead invece non la conosco, dove la posso trovare?
Re: Lati di un triangolo
Anche Muirhead sta sulle Schede Olimpiche, sotto il nome di "bunching" o "raggruppamento", credo.
Se vuoi ora posto un po' di disuguaglianze "schurose" per esercitarsi
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