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Siano $a,b,c$ numeri reali positivi, tali che: $$a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$$

Dimostrare che:
\[a+b+c \geq \frac{3}{abc}. \]

Domanda bonus:
Si deve avere necessariamente che $abc\geq1$?

Non ho capito una cosa, ma "$abc\ge 1$" è nelle ipotesi?

No, è tipo una seconda tesi. "Se $a+b+c\ge 1/a+1/b+1/c$, è necessariamente vero che $abc\ge1$?"

Qualche hint per me?

Il fatto che $ a+b+c\geq 1/a +1/b +1/c $ é sempre vero con $ a,b,c $ reali positivi per la disuguaglianza AM$ \geq $ HM.
Per dimostrare che $ a+b+c\geq \frac{3}{abc} $ notiamo subito che se facciamo tendere $ a,b,c $ a 0 la disuguaglianza non regge più. Ora moltiplicando tutto per abc otteniamo $ a^2bc +ab^2c +abc^2\geq 3 $ ma sappiamo che per AM, GM $ a^2bc+ab^2c+abc^2 \geq 3abc×{abc}^{1/3} $ ma $ abc ×{abc}^{1/3} $ é maggiore o uguale a 1 solo con $ abc\geq 1 $

Luke99 ha scritto: ↑29 giu 2017, 20:44 Il fatto che $ a+b+c\geq 1/a +1/b +1/c $ é sempre vero con $ a,b,c $ reali positivi per la disuguaglianza AM$ \geq $ HM.

$ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ ?

E anche, non è vero che $abc\geq 1$ (anche perché sennò sarebbe stato un grosso indizio su come fare la dimostrazione)

Si tutte osservazioni giuste non sono bravo a fare le cose di fretta hahah ci riprovo domani magari

Io ho provato così:
applico la media armonica ai termini $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ ottenendo che
[math] \frac{a+b+c}{3}\geq\frac{1/a+1/b+1/c}{3}\geq\frac{3}{a+b+c}
Poi applicando la media geometrica ad $a,b,c$ ottengo che:
[math]\frac{3}{a+b+c}\geq\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}\Longrightarrow a+b+c\geq\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}
Confrontando il risultato con la tesi si ottiene che $\sqrt[3]{abc}\leq abc$, ovvero che $abc$ deve essere necessariamente maggiore o uguale ad 1.

Emarossi ha scritto: ↑06 ago 2017, 10:29 Io ho provato così:
applico la media armonica ai termini $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ ottenendo che
[math] \frac{a+b+c}{3}\geq\frac{1/a+1/b+1/c}{3}\geq\frac{3}{a+b+c}
Poi applicando la media geometrica ad $a,b,c$ ottengo che:
[math]\frac{3}{a+b+c}\geq\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}\Longrightarrow a+b+c\geq\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}
Confrontando il risultato con la tesi si ottiene che $\sqrt[3]{abc}\leq abc$, ovvero che $abc$ deve essere necessariamente maggiore o uguale ad 1.

Controlla la media armonica perché non è proprio così

Ho trovato l'errore
Grazie