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Determinare il massimo valore della costante $k$ per cui si abbia che $x^3+y^3+z^3+3xyz \geq k(xy+yz+zx)$ per ogni terna di numeri reali positivi $x,y,z$.

Potrei sbagliare, ma se suppongo che $k=a > 0$ e pongo $(a/3, a/3, a/3)$ ottengo $6a^3/27 \geq a \cdot 3a^2/9$. Sicuro non ci sia una condizione del tipo $x+y+z=1$ o simili?

No, infatti non mi tornava qualcosa.
Manca sicuramente una condizione, ma non sapendo quale sia, non so se $x+y+z=1$ garantisca l'esistenza di soluzioni.