OliForum Matematico

...si inventano disuguaglianze! Quindi è OWN. Siano $a$, $b$, $c$ reali positivi tali che $ab+bc+ca=3$. Trovare la più grande costante $k$ tale che
\[\frac1{\sqrt{a^2+3}}+\frac1{\sqrt{b^2+3}}+\frac1{\sqrt{c^2+3}}\ge \frac k{a+b+c}.\]

Dimostro che il massimo è $k=\frac{9}{2}$ che si può ottenere ponendo $a=b=c=1$
Applico ora la disuguaglianza di Jensen sulla funzione $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$$f(a^2+3)+f(b^2+3)+f(c^2+3)\ge 3f(\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3})$$
Mi basta quindi dimostrare
$$\frac{3}{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+9}{3}}}\ge \frac{9}{3(a+b+c)}$$
Elevando al quadrato ed elliminando i denominatori ottengo
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2+9)$$
Sfruttando il vincolo posso riscriverla come
$$4(a+b+c)^2\ge 3(a^2+b^2+c^2)+9(ab+bc+ca)$$
Ovvero
$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$
che è ovviamente vera.

Alternativa più sempliciotta

Io l'avevo fatta con AM-GM sul denominatore: \[\sqrt{a^2+3}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\le\frac{2a+b+c}2\] e poi Titu per concludere

Io trovo che K è 3*radice quadrata di 3, e non 9/2