Disuguaglianza con radici
Disuguaglianza con radici
Determinare la migliore costante reale $k$ tale che $$\frac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+1}}\geq k$$ per ogni terna $(x,y,z)$ di reali positivi con $x+y+z=3$.
Re: Disuguaglianza con radici
Testo nascosto:
Re: Disuguaglianza con radici
Hai ragione, dovevo controllare meglio.
Comunque:
Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione convessa $f(x)= \frac {3}{\sqrt {x}}$ ottenendo:
$$xf(y^2+1)+yf(z^2+1)+zf(x^2+1) \ge 3f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+x+y+z}{3}\right)=3k$$
Da cui:
$$k=f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}\right)$$
Per trovare $k$ massimo, devo minimizzare $\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}$. Inizio notando che:
$$\frac {x^2z+y^2x+z^2y}{3} \ge \left(\frac {xz+yx+zy}{3}\right)^2$$
Che deriva dall'applicazione della disuguaglianza di Jensen alla funzione $g(x)=x^2$ e dal vincolo.
Come avevo dimostrato nel mio precedente messaggio, il valore massimo di $xz+yx+zy$ è $3$. Ne ricavo che:
$$x^2z+y^2x+z^2y \ge 3$$
Quindi il minimo è $3$; sostituisco e ottengo $k=\frac {3\sqrt{2}}{2}$
Comunque:
Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione convessa $f(x)= \frac {3}{\sqrt {x}}$ ottenendo:
$$xf(y^2+1)+yf(z^2+1)+zf(x^2+1) \ge 3f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+x+y+z}{3}\right)=3k$$
Da cui:
$$k=f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}\right)$$
Per trovare $k$ massimo, devo minimizzare $\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}$. Inizio notando che:
$$\frac {x^2z+y^2x+z^2y}{3} \ge \left(\frac {xz+yx+zy}{3}\right)^2$$
Che deriva dall'applicazione della disuguaglianza di Jensen alla funzione $g(x)=x^2$ e dal vincolo.
Come avevo dimostrato nel mio precedente messaggio, il valore massimo di $xz+yx+zy$ è $3$. Ne ricavo che:
$$x^2z+y^2x+z^2y \ge 3$$
Quindi il minimo è $3$; sostituisco e ottengo $k=\frac {3\sqrt{2}}{2}$