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Sia $a_1, a_2, \dots$ una successione di reali positivi tale che:
- $a_n$ tende a $0$ per $n$ che tende a infinito;
- $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i$ diverge.
Sia fissato un reale positivo $r$.
Mostrare che è possibile scegliere da $a_1, a_2, \dots$ una sottosequenza $b_1, b_2, \dots$ tale che
$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} b_i$ converge a $r$.

Power up:
Data una successione che rispetti le seguenti ipotesi:
-[math]\sum^{\infty}_{n=0}{a_n} converge
-la somma dei soli termini positivi diverge
-la somma dei soli termini negativi diverge
Dimostrare che, per qualsiasi reale [math]\alpha esiste una permutazione dei termini della successione [math]\sigma(n) tale per cui
[math]\sum_{n=0}^{\infty}{a_{\sigma(n)}} converge a [math]\alpha

AlexThirty ha scritto: ↑02 gen 2018, 08:30 Power up:
Data una successione che rispetti le seguenti ipotesi:
-[math]\sum^{\infty}_{n=0}{a_n} converge
-la somma dei soli termini positivi diverge
-la somma dei soli termini negativi diverge
Dimostrare che, per qualsiasi reale [math]\alpha esiste una permutazione dei termini della successione [math]\sigma(n) tale per cui
[math]\sum_{n=0}^{\infty}{a_{\sigma(n)}} converge a [math]\alpha

Ma a questo punto perché limitarsi ai reali? Esiste una permutazione per cui va a infinito ed una per cui va a meno infinito.