Questo problema mi da dei dolci ricordi visto che fui uno dei due a risolverlo in sessione all'allenamento online
Visto che non sai ancora cosa sono le derivate, i problemi di Tor Vergata coi polinomi potrebbero in generale risultare ostici comunque (capitano in un problema su due, questo compreso).
In realtà è piuttosto facile/standard (ma tecnico), come idee ti basta notare che $244$ è molto più piccolo di $2015$ e quindi se entrambi i polinomi li trasformi in serie (infinite) di potenze aggiungendo termini di grado alto non cambia nulla (questo semplificherà di molto i calcoli, anche se non è necessario). Ma le due serie infinite (viste come funzioni generatrici/collezioni di coefficienti, non come funzioni vere e proprie...) $P_1$ e $Q_1$ sono piuttosto facili da scrivere, infatti $P_1=\frac{1}{1+x}$ mentre $Q_1$ lo ricavi derivando due volte $\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x}$ (e moltiplicando una volta per $x$ prima della seconda derivata, trucco analogo a quello che ho usato ad esempio qui
viewtopic.php?f=15&t=20775 ) e viene $Q_1=\frac{-1-x}{(1-x)^3}$
Quindi alla fine vuoi il termine di grado $244$ dell'espansione in serie di
$$P_1(x)^{12}Q_1(x)^3=\frac{1}{(1+x)^{12}}\cdot \frac{(1+x)^3}{(1-x)^9}=\frac{(1+x)^3}{(1-x^2)^9(1+x)^3}=\frac{1}{(1-x^2)^9}$$
E lo sviluppo di $\frac{1}{(1-x)^k}$ è noto ed uguale a $\sum_{i=0}^{\infty}{k-1+i \choose k-1}x^i$, quindi la risposta è ${122+9-1 \choose 9-1}=1624177854000$
Visto che la risposta è un binomiale abbastanza semplice magari la puoi vedere combinatoricamente lasciando stare le derivate etc però questo è il modo che il propositore del problema aveva in mente (o almeno credo
). Una cosa che noti con questo approccio è che $12$ e $3$ non sono numeri a caso come parrebbe ad una prima occhiata, servono a far semplficare $(1+x)^3$, quindi qualche semplificazione buffa che tenga conto di questa cosa va trovata anche in una soluzione alternativa