Secondo problema
Secondo problema
Sia p(x) un polinomio di grado 1987 con la seguente proprietà : quando lo si divide per i binomi (x+ 3), (x+ 2), (x+ 1), (x−1), (x−2) e (x−3),
si ottengono come resti, rispettivamente, 1, 2, 3, 5, 6 e 1987.
Indichiamo con r(x) il polinomio che si ottiene come resto dividendo p(x) per il polinomio b(x) = (x + 3)(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 3).
Qual è il termine noto di r(x)?
Qualcuno che mi aiuta con questo problema?
si ottengono come resti, rispettivamente, 1, 2, 3, 5, 6 e 1987.
Indichiamo con r(x) il polinomio che si ottiene come resto dividendo p(x) per il polinomio b(x) = (x + 3)(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 3).
Qual è il termine noto di r(x)?
Qualcuno che mi aiuta con questo problema?
Re: Secondo problema
Testo nascosto:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: Secondo problema
Scusa ma non credo di avere capito
Re: Secondo problema
1. La domanda del problema è $r(0):=t$.
2. Che grado ha $r(x)$?
3. Considera il polinomio $\Delta_1 r(x)=r(x+1)-r(x)$. Che grado ha? Sai dire quanto vale in alcuni punti? Ripeti $5$ volte questa operazione
2. Che grado ha $r(x)$?
3. Considera il polinomio $\Delta_1 r(x)=r(x+1)-r(x)$. Che grado ha? Sai dire quanto vale in alcuni punti? Ripeti $5$ volte questa operazione
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Re: Secondo problema
Bhe sicuramente delta r(x) ha grado = deg(r(x)) - 1 mentre r(x) ha grado minore di 6.
Però non capisco come posso usare i resti delle divisioni di p(x) per i vari binomi
Però non capisco come posso usare i resti delle divisioni di p(x) per i vari binomi
Re: Secondo problema
Propongo una soluzione un po' meno carina, lascio la possibilita' a Tilli di ragionare un pochino sulle differenze finite.
Inoltre
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Re: Secondo problema
Beh se scrivi $P(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)Q(x)+R(x)$ vedi che il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-3)$ è proprio $R(3)$ (dovresti conoscerlo come teorema di Ruffini, il resto della divisione di $P(x)$ per $x-\alpha$ è $P(\alpha)$ e $P(3)=R(3)$), quindi conosci $R$ (che è di quinto grado) in $6$ punti (cioè $-3,-2,-1,1,2,3$). Il metodo delle differenze dovrebbe farti risparmiare conti, è normalmente più veloce da eseguire se ti interessa $R$ valutato in un punto preciso piuttosto che il polinomio vero e proprio (e fa comodo avercelo presente quando si tratta con dei polinomi).Tilli ha scritto:Però non capisco come posso usare i resti delle divisioni di p(x) per i vari binomi
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Re: Secondo problema
Ok grazie ora ho capito, però potresti lo stesso scrivermi i calcoli con cui arrivi al risultato con il metodo delle differenze finite per favore?
Re: Secondo problema
fai una tabella
1 2 3 t 5 6 1987
1 1 t-3 5-t 1 1981
0 t-4 8-2t t-4 1980
t-4 12-3t 3t-12 1984-t
16-4t 6t-24 1996-4t
10t-40 2020-10t
La prima riga contiene in ordine $r(-3), r(-2), r(-1), r(0), r(1), r(2), r(3)$, la seconda riga $\Delta_1 r(-3)$ (che sarebbe per definizione $r(-2)-r(-3)$), $\Delta_1 r(-2)$ eccetera.
Ogni riga il polinomio scende di un grado quindi l''ultima riga è un polinomio costante $\Delta_5r(x)$ valutato in $-3$ e $-2$ e i due valori sono quindi uguali da cui $10t-40=2020-10t$ che risolta da $t=103$
1 2 3 t 5 6 1987
1 1 t-3 5-t 1 1981
0 t-4 8-2t t-4 1980
t-4 12-3t 3t-12 1984-t
16-4t 6t-24 1996-4t
10t-40 2020-10t
La prima riga contiene in ordine $r(-3), r(-2), r(-1), r(0), r(1), r(2), r(3)$, la seconda riga $\Delta_1 r(-3)$ (che sarebbe per definizione $r(-2)-r(-3)$), $\Delta_1 r(-2)$ eccetera.
Ogni riga il polinomio scende di un grado quindi l''ultima riga è un polinomio costante $\Delta_5r(x)$ valutato in $-3$ e $-2$ e i due valori sono quindi uguali da cui $10t-40=2020-10t$ che risolta da $t=103$
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