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Ho trovato un esercizio(probabilmente molto molto semplice) sui polinomi da una gara di matematica e non riesco proprio a risolverlo pur avendo provato molti approcci.
[math]p(x) è un polinomio di 6° grado, per ogni x reale si sa che [math]p(x)>=1. Sappiamo anche che [math]p(2014)=p(2015)=p(2016)=1 e [math]p(2017)=2. Qual è il valore di [math]p(2018)?
Grazie per l'aiuto

Cosa succede se definisci $q(x)=p(x)-1$?

Prova a pensare a come è fatto (circa) il grafico del polinomio localmente vicino a 2014,2015 e 2016, e cosa implica questo

matpro98 ha scritto: ↑09 ago 2018, 00:07 Cosa succede se definisci $q(x)=p(x)-1$?

Ok forse sarebbe stato meglio chiarire i miei tentativi di soluzione.
Ho provato a definire $q(x)=p(x)-1$ così ho ben tre radici di $q(X)$ ovvero, $q(x)=g(x)(x-p(2014))(x-p(2015))(x-p(2016))$ in questo modo posso anche trovare $g(2017)$ se servisse, ma non riesco a collegare $p(2018)$, in particolare non riesco a sfruttare il fatto che sia di 6° grado e che $q(x)>=0$.
Ho provato anche a definire $q(x)=p(x)-2p(x-1)+p(x-2)$ che è di 4°grado e ha $p(2016)$ come radice, ma non so come continuare...

Aspè aspè aspè.
Ponendo $q(x)=p(x)-1$ hai

$q(x)=g(x)(x-2014)(x-2015)(x-2016)$, corretto? Non $x-p(2014)=x-1$

Detto questo, ragiona sul fatto che $q(x) \geq 0$ per ogni $x$ e che ha come radici 2014, 2015, 2016

Ad esempio se $q(2015.999) \geq 0$ questo cosa ci dice?

Ignorando la condizione su 2017, il testo ti dà 3 radici ed è di sesto grado, qualcosa vorrà dire no?

scambret ha scritto: ↑09 ago 2018, 12:31 Aspè aspè aspè.
Ponendo $q(x)=p(x)-1$ hai

$q(x)=g(x)(x-2014)(x-2015)(x-2016)$, corretto? Non $x-p(2014)=x-1$

Detto questo, ragiona sul fatto che $q(x) \geq 0$ per ogni $x$ e che ha come radici 2014, 2015, 2016

Ad esempio se $q(2015.999) \geq 0$ questo cosa ci dice?

Ignorando la condizione su 2017, il testo ti dà 3 radici ed è di sesto grado, qualcosa vorrà dire no?

Giusto, giusto. Quindi $g(x)$ è di terzo grado, ma allora $g(x)=(x-2014)(x-2015)(x-2016)$ (per il teorema degli zeri) e poi trovo facilmente $p(2018)$ sostituendo. Non so bene come formalizzare la parte che riguarda il teorema degli zeri...
Se il ragionamento è corretto non riesco però a capire come generalizzarlo perché un polinomio potrebbe anche avere radici complesse, o comunque non capisco molto bene il risultato a livello intuitivo cosa per me fondamentale. In particolare c'è una qualche proprietà/teorema che riguarda i polinomi che chiarisce quello che ho fatto?
Grazie per l'aiuto a tutti!

Se il polinomio ha radici complesse ma coefficienti reali queste sono coniugate, quindi tipo avevi 6 radici da subito se erano complessi a caso no? Se invece vuoi mettere coefficienti complessi mi pare dura che si abbia $p(x)\geq 0$ per ogni $x$ visto che per i complessi il $\geq$ non ha molto significato (e puoi dimostrare abbastanza facilmente che un polinomio a valori reali ha per forza i coefficienti reali)

Lasker ha scritto: ↑09 ago 2018, 14:59 Se il polinomio ha radici complesse ma coefficienti reali queste sono coniugate, quindi tipo avevi 6 radici da subito se erano complessi a caso no? Se invece vuoi mettere coefficienti complessi mi pare dura che si abbia $p(x)\geq 0$ per ogni $x$ visto che per i complessi il $\geq$ non ha molto significato (e puoi dimostrare abbastanza facilmente che un polinomio a valori reali ha per forza i coefficienti reali)

Ok in effetti era piuttosto semplice da capire.
Ma allora era inutile la condizione su p(2017)?

Come usi il teorema degli zeri? Perché le condizioni per $q(x)=0$ le hai già da prima, quello che non hai sfruttato è $q(x) \geq 0$. Prova a seguire il consiglio di scambret sul polinomio di secondo grado

E no, la condizione su $p(2017)$ non è inutile

Il teorema degli zeri è più che ragionevole come idea, anche se lasci un po' troppo all'immaginazione del lettore... secondo me se provi a buttare giù qualche riga ti viene formale la spiegazione.

Il $2017$ ti serve, ed è una cosa stupida... semplicemente stai dando per scontato che $q$ sia monico.

Ops in effetti il polinomio non è per forza monico...
Ora ho capito perfettamente, grazie a tutti
Non sono ancora molto bravo con questo esercizi sui polinomi