OliForum Matematico

Causa svista inerente la sezione, riposto sperando non sia un disturbo.

Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno un'altra settimane), si rese conto che:
Detto $K$ il sottoinsieme di $[0, 1]$ contenente tutti i reali aventi espansione ternaria del tipo $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}$ dove la successione $(a_n)$ è tale che $a_n \in \{0, 2\}$, allora $K$ è il complementare di $[0, 1]$ rispetto all'unione di insiemi disgiunti $I_n$, la cui somma degli intervalli è $1$.
Il vecchio era noto per le sue numerose congetture rivelatesi false: questa però era differente, era corretta.
Sapresti fornire una dimostrazione?
Bonus:

Scusa Fenu, ma non riesco a capire bene quello che si deve dimostrare, potresti spiegare meglio l'ultima parte (per capirci da ...allora K è...). In particolare cos'è I con n?

Dovresti dimostrare che la somma degli intervalli $I$ vale $1$. Detto in maniera poco formale, che "la misura di $K$ è zero".. mi sono spiegato?

K per definizione è l‘insieme di Cantor （o come si chiama） ed ha misura 0. Più precisamente si può definire K come il limite per n che tende ad ∞ di K con n ，dove K con n è l’insieme dei numeri che in notazione ternaria hanno solo 0 e 2 nelle prime n cifre dopo la virgola.Si osserva che la misura di K con n è 2/3 della misura di K con n-1， perché devo togliere i numeri che hanno 1 alla n-esima cifra ，che sono 1/3 dei numeri in K con n-1.Allora la misura di K con n è (2/3)^n·K0 che ha limite 0 per n→∞.