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Polinomio un po' strano
Inviato: 05 lug 2019, 13:18
da alicemgn
Ciao, potreste darmi per piacere qualche indicazione per risolvere questo problema? Grazie in anticipo
Sia [math]d(n) il numero di diagonali di un poligono regolare di $ n $ lati. Se interpreti il polinomio [math]p(x)=\sum\limits_{i=3}^x id(i) estendendolo sui numeri interi, quanto vale $ p(-2) $?
Re: Polinomio un po' strano (e contoso)
Inviato: 05 lug 2019, 13:48
da Mattysal
[math]p(x)=\displaystyle \sum_{i=3}^x id(i)=\frac{1}{2}\sum_{i=3}^x i^3-3i^2=\frac{1}{2}[\sum_{i=3}^x i^3-\sum_{i=3}^x 3i^2]=\frac{1}{2}[(\frac{x^2(x+1)^2}{4}-9)-(\frac{3x(x+1)(2x+1)}{6}-15)]]
E se non ho sbagliato i conti dovrebbe uscire [math]p(-2)=5.
Re: Polinomio un po' strano (e contoso)
Inviato: 05 lug 2019, 14:20
da Luca Milanese
Obiezione forse stupida: dato che, in quella sommatoria, partendo da i=3 si "arriva" a -2, cioè si procede al contrario, non si dovrebbe forse cambiare i segni di 9 e 15 nell'ultimo passaggio dei tuoi conti (cioè considerarli come numeri da sommare e non da sottrarre)?
Re: Polinomio un po' strano (e contoso)
Inviato: 05 lug 2019, 23:17
da Mattysal
Luca Milanese ha scritto: ↑05 lug 2019, 14:20
Obiezione forse stupida: dato che, in quella sommatoria, partendo da i=3 si "arriva" a -2, cioè si procede al contrario, non si dovrebbe forse cambiare i segni di 9 e 15 nell'ultimo passaggio dei tuoi conti (cioè considerarli come numeri da sommare e non da sottrarre)?
E perché mai?
Poiché la sommatoria parte da 3, ho tolto nella prima somma 1^3 e 2^3
Analogamente nella seconda, ho tolto 3*(1^2+2^2)
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 09:20
da Luca Milanese
Provo a spiegarmi meglio (non sono neanche sicuro di ciò che dico, è probabile che avrò scritto un'assurdità, ma nel dubbio...): io quelle sommatorie da i=3 a -2 le vedo, applicando la formula generica da i=1, come incluse per i=1, 0,-1 e -2 nella formula, e per i=2 e 3 da fare a parte e poi aggiungere al risultato (infatti mi ero sbagliato prima, volevo dire che sarebbero dovuti essere sommati (2^3+3^3) e 3(2^2+3^2)). D'altronde, quelle formule chiuse su somme di quadrati e cubi non mi pare siano utilizzabili sui negativi tanto facilmente.
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 10:54
da Mattysal
Luca Milanese ha scritto: ↑06 lug 2019, 09:20
Provo a spiegarmi meglio (non sono neanche sicuro di ciò che dico, è probabile che avrò scritto un'assurdità, ma nel dubbio...): io quelle sommatorie da i=3 a -2 le vedo, applicando la formula generica da i=1, come incluse per i=1, 0,-1 e -2 nella formula, e per i=2 e 3 da fare a parte e poi aggiungere al risultato (infatti mi ero sbagliato prima, volevo dire che sarebbero dovuti essere sommati (2^3+3^3) e 3(2^2+3^2)). D'altronde, quelle formule chiuse su somme di quadrati e cubi non mi pare siano utilizzabili sui negativi tanto facilmente.
Ciò che dici è sicuramente vero.
C è da dire che ho dato un'interpretazione abbastanza personale del testo.
Infatti ho dato per scontato che p(x)=tuttaquellarobbali
Per x>=3
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 11:23
da Luca Milanese
Sì, in effetti questo problema è abbastanza "libero da interpretare" (dannate sommatorie negative!
). Però volevo far notare che se tu vai per x>=3, difficilmente arrivi a -2... poi boh, magari vale lo stesso.
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 13:45
da Mattysal
Mh non è libero da interpretare, secondo me.
Quale interpretazione diversa si sarebbe potuta dare?
Chiaramente il testo stesso dice "estendere sui numeri interi" quindi magari bisognava semplicemente trovare un polinomio che si potesse tranquillamente calcolare con le ipotesi poste dal problema, e poi calcolarlo in -2.
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 14:24
da Luca Milanese
Ma certamente, è ovvio cosa voglia il testo: quello che può lasciare perplessi è il fatto che si debba andare a usare sommatorie sui negativi, e dunque qui ci possono essere discordanze su come applicare le formule chiuse di somme di quadrati e cubi (che poi è quello che sta succedendo). Dopodiché, tu stesso dicesti di aver dato "un'interpretazione abbastanza personale del testo".
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 14:33
da Mattysal
Luca Milanese ha scritto: ↑06 lug 2019, 14:24
Ma certamente, è ovvio cosa voglia il testo: quello che può lasciare perplessi è il fatto che si debba andare a usare sommatorie sui negativi, e dunque qui ci possono essere discordanze su come applicare le formule chiuse di somme di quadrati e cubi (che poi è quello che sta succedendo). Dopodiché, tu stesso dicesti di aver dato "un'interpretazione abbastanza personale del testo".
Senza dubbio, ho detto “abbastanza personale” poiché non sono bravissimo ad interpretare i problemi
Sarebbe stato meglio dire “Magari potrei sbagliarmi”, comunque nel dubbio lo dico quasi sempre
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 06 lug 2019, 14:51
da Luca Milanese
Va bene, ci siamo chiariti almeno su questo punto.
. Peraltro, io stesso continuo a non essere del tutto convinto di ciò che ho scritto inizialmente...
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 07 lug 2019, 23:14
da fph
C'è un unico polinomio tale che $p(x)=\sum\limits_{i=3}^x id(i)$ per ogni $x\in\mathbb{N}$ tale che $x>3$. Prendi quel polinomio, e calcola $p(-2)$. Questa versione del testo evita completamente il problema di definire cosa vuol dire $\sum_{i=3}^{-2}$.
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 07 lug 2019, 23:33
da Luca Milanese
Ok, adesso mi è più chiaro. Avevo effettivamente detto una stupidaggine...
Re: Polinomio un po' strano
Inviato: 08 lug 2019, 19:51
da Mattysal
Evvai, l’ho interpretato bene
). Però volevo far notare che se tu vai per x>=3, difficilmente arrivi a -2... poi boh, magari vale lo stesso.
