catena di due disuguaglianze (credo) faciline

[jabberwocky]

sicuramente a qualcuno parrà di aver già visto questa catena di disuguaglianze, vediamo chi è il primo a dirmi dove...
a me manca la prima, sono sicuro che basta qualche manipolazione facile ma non mi è venuta in mente

$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) \leq 2(x^2+y^2+z^2) $

per la seconda ho applicato una disuguaglianza nota, ma non dubito ci sia qualcosa di più facile, vediamo che ne uscirà

lorenzo

[thematrix]

$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $

Uhm,sei sicuro che valga?Con $ x=100 , y=1 , z=1 $ risulta $ 10002 \leq 402 $

[Boll]

Per la seconda ci sono tipo una decina di modi, tempo fa me li ero elencati tutti, te ne dico un po' perchè non ho nulla da fare, così do anche un poì di esempi ai meno esperti in questo campo.

$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $

Il modo meno immediato
Applicando Newton alle somme simmemtriche elementari di tre elementi avremo
$ a=x+y+z $
$ b=xy+yz+zx $
$ \displaystyle \left(\frac{a}{\binom{3}{2}}\right)^2\ge \frac{b}{\binom{3}{1}}*1 $
$ a^2\ge 3b $
$ (x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge 3xy+3yz+3zx $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $

Il modo più immediato
Per il teorema detto bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}x^2\ge \sum_{sym}xy $
$ 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $

Il modo più semplice
$ (x-y)^2\ge 0 $
$ (y-z)^2\ge 0 $
$ (z-x)^2\ge 0 $
sommandole tutte e tre
$ 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx) $
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $

Il modo più bello
Per AM-GM alla coppia $ (x^2,y^2) $
$ \displaystle \frac{x^2+y^2}{2}\ge xy $
Per AM-GM alla coppia $ (y^2,z^2) $
$ \displaystle \frac{y^2+z^2}{2}\ge yz $
Per AM-GM alla coppia $ (z^2,x^2) $
$ \displaystle \frac{z^2+x^2}{2}\ge xy $
sommandole avremo proprio
$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $

[thematrix]

e riordinamento??:D

[Boll]

E' uguale al bunching, comunque ho detto che ne elencavo alcuni

[hydro]

Per il teorema detto bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}x^2\ge \sum_{sym}xy $

che cosa vuol dire questa scrittura?

[__Cu_Jo__]

Per il teorema detto bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}x^2\ge \sum_{sym}xy $

che cosa vuol dire questa scrittura?

E' una sommatoria ke si ottiene permutando le variabili.
Ad esempio $ \sum\limits_{sym} {xyz} = xyz + xzy + yxz + yzx + zxy + zyx = 6xyz $
$ \sum\limits_{sym} {x^2 y} = x^2 y + x^2 z + y^2 x + y^2 z + z^2 x + z^2 y $
$ \sum\limits_{sym} x y = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2\left( {xy + xz + yz} \right) $

E' una notazione molto utile nella teria delle disuguaglianze.
Il numero delle variabili coinvolte dipende dal testo;cmq non capita spesso di dover cambiare il numero di variabili nello stesso problkema

[HumanTorch]

Simpatico corollario: in un parallelogramma il valore della somma dei quadrati delle due diagonali è maggiore o uguale del valore della superficie dello stesso!

[hydro]

E' una sommatoria ke si ottiene permutando le variabili.

quindi se $ n $ è il numero di variabili coinvolte nel problema, il numero di termini della sommatoria sarà $ n! $ giusto?

[jabberwocky]

uhm.... per la seconda avevo pensato a riarrangiamento o AM-GM, mi mancano parecchi modi a quanto pare, per la prima ho dimenticato di specificare una piccola (ehm..) cosa: $ x,y,z $ sono lati di un triangolo..

[talpuz]

uhm, a me in effetti ricorda qualcosa

[Melkon]

$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $

perché siano i lati di un triangolo dev'essere
x=a+b
y=b+c
z=a+c
sostituendo
$ 2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac $ $ \leq 2(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac) $
da cui,
$ ab+bc+ac \leq 3ab+3bc+3ac $
sempre vera per a, b, c positivi

ps: la mia prima disuguaglianza!!

[Boll]

$ x^2+y^2+z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $, con $ x,y,z $ lati di un triangolo

Per la disuguaglianza triangolare

$ x<y+z $
moltiplico per $ x $
$ x^2<xy+xz $

$ y<x+z $
moltiplico per $ y $
$ y^2<xy+yz $

$ z<x+y $
moltiplico per $ z $
$ z^2<xz+yz $

sommandole tutte e tre
$ x^2+y^2+z^2<2(xy+yz+zx) $
Credo che l'uguaglianza non possa mai valere, salvo triangoli degeneri

[jabberwocky]

wow... ma si può fare quela roba lì di melkon? mi pare strano non averla mai incontrata.
bellissima anche la tua boll, accludo il classico 'ma come non mi è venuta in mente'... sei più veloce a risolvere disuguaglianze che a stimare logaritmi...
talpuz se n'è accorto per primo. bei ricordi vero? ora speriamo solo non passi di qui lordgauss sennò riparte con il suo "ma perchè questo qui (alias alex85) sì e io no? ma perchè??"

[Boll]

sei più veloce a risolvere disuguaglianze che a stimare logaritmi...

ghghg, magari se non fosse mancata un ipotesi :D:P

Cmq è condizione necessaria e sufficente affichè $ x,y,z $ siano lati di un triangolo che esistano reali positivi $ a,b,c $ tali che
$ x=a+b $
$ y=b+c $
$ z=c+a $

Dimostratelo!!