Disuguaglianza solo numeri
Disuguaglianza solo numeri
Provare che:
$ \dfrac{1}{44}>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot...\cdot\dfrac{1997}{1998}>\dfrac{1}{1999} $
$ \dfrac{1}{44}>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot...\cdot\dfrac{1997}{1998}>\dfrac{1}{1999} $
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Definiamo per chiarezza la serie $ f(n)=1-\frac{1}{2n} $ e analogamente la produttoria come $ g(n)=\prod_{i=1}^{n} i^{(-1)^{i-1}} $
Prima parte: $ g(1998)>\frac{1}{1999} $.
Dim: il prodotto $ h(1998)=\prod_{i=1}^{1998} \frac{i}{i+1} $ conta più termini di $ g(1998) $ tutti minori di $ 1 $, quindi $ h(1998)<g(1998) $; ma $ h(1998) $ è una serie telescopica, dove si semplificano tutti i termini, e assume pertanto valore $ \frac{1}{1999} $, quindi $ g(n)>h(n)=\frac{1}{1999} $
Seconda parte: $ g(1998)<\frac{1}{44} $
Dim:Sfruttiamo la precedente dimostrazione: la serie $ h(n)=\frac{1}{1999} $. Ma si nota che $ \frac{h(n)}{g(n)}>g(n) $(1), poichè $ \frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2} $, quindi, moltiplicando entrambi i membri della (1) per $ g(n) $ otteniamo $ g(n)^2<h(n) $, nel nostro caso $ g(1998)^2<\frac{1}{1999} $, da cui la radice quadrata $ g(1998)<\sqrt{\frac{1}{1999}} $, ed essendo la radice quadrata di $ 1999 $ $ >44 $,
$ g(n)<\frac{1}{44} $
Prima parte: $ g(1998)>\frac{1}{1999} $.
Dim: il prodotto $ h(1998)=\prod_{i=1}^{1998} \frac{i}{i+1} $ conta più termini di $ g(1998) $ tutti minori di $ 1 $, quindi $ h(1998)<g(1998) $; ma $ h(1998) $ è una serie telescopica, dove si semplificano tutti i termini, e assume pertanto valore $ \frac{1}{1999} $, quindi $ g(n)>h(n)=\frac{1}{1999} $
Seconda parte: $ g(1998)<\frac{1}{44} $
Dim:Sfruttiamo la precedente dimostrazione: la serie $ h(n)=\frac{1}{1999} $. Ma si nota che $ \frac{h(n)}{g(n)}>g(n) $(1), poichè $ \frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2} $, quindi, moltiplicando entrambi i membri della (1) per $ g(n) $ otteniamo $ g(n)^2<h(n) $, nel nostro caso $ g(1998)^2<\frac{1}{1999} $, da cui la radice quadrata $ g(1998)<\sqrt{\frac{1}{1999}} $, ed essendo la radice quadrata di $ 1999 $ $ >44 $,
$ g(n)<\frac{1}{44} $
H.T., per cortesia, se vedi che un tuo messaggio con formule LaTeX riempie la pagina di strani messaggi d'errore, dovresti editare il tuo messaggio e correggere le formule che compaiono come
L'errore più comune è dimenticare di chiudere una parentesi graffa {}. Per editare un tuo messaggio, basta clickare su "modifica" nell'angolo in alto a destra del messaggio. Grazie. M.
Codice: Seleziona tutto
[unparseable or potentially dangerous latex formula]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Chiedo scusa, non avevo notato alcuna scritta quando ho postato..la prossima volta starò più attento, sorry
Ultima modifica di HumanTorch il 30 giu 2005, 14:50, modificato 1 volta in totale.
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io per dimostrare la prima parte dell'esercizio avevo un'ideuzza divertente;
per dimostrare che 1/2x3/4x5/6x1997/1998 > 1/1999 innanzi tutti kiamiamo il primo bembro della disuguaglianza C. Ora se sottraiamo un'unità da tutti numeratori di C (tranne dal primo, cioè 1/2) otterremo sicuramente una quantità più piccola di C. Ma è facile notare che questa quantità è 1/1998 dato che si semplifica ogni numeratore col denominatore della frazione precedente.
Ora se C > 1/1998, essendo 1/1998 > 1/1999, allora C > 1/1999.
per dimostrare che 1/2x3/4x5/6x1997/1998 > 1/1999 innanzi tutti kiamiamo il primo bembro della disuguaglianza C. Ora se sottraiamo un'unità da tutti numeratori di C (tranne dal primo, cioè 1/2) otterremo sicuramente una quantità più piccola di C. Ma è facile notare che questa quantità è 1/1998 dato che si semplifica ogni numeratore col denominatore della frazione precedente.
Ora se C > 1/1998, essendo 1/1998 > 1/1999, allora C > 1/1999.
In risposta al quesito di Info.
$ P=\displaystyle\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\dots\frac{1997}{1998} $
$ 2P=\displaystyle\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{7}{8}\dots\frac{1997}{1998} $
$ \displaystyle2P>\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\dots\frac{1996}{1997} $
$ \displaystyle4P^2>\frac{2}{1998}--->P>\frac{1}{\sqrt{2*1998}} $
$ P=\displaystyle\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\dots\frac{1997}{1998} $
$ 2P=\displaystyle\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{7}{8}\dots\frac{1997}{1998} $
$ \displaystyle2P>\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\dots\frac{1996}{1997} $
$ \displaystyle4P^2>\frac{2}{1998}--->P>\frac{1}{\sqrt{2*1998}} $
Re: Disuguaglianza solo numeri
...che migliora l'enunciato in maniera spettacolare:
Boll et al. ha scritto:Provare che:
$ \dfrac{1}{44}>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot...\cdot\dfrac{1997}{1998}>\dfrac{1}{64} $
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Se permetti Karl, posto io, data la mia ormai rinomata abilità di oratore:Melkon ha scritto:mmh, tragicamente non capisco il secondo (e il terzo) passaggio della dim di karl... me la spieghi per favore? grazie...
passaggio #2: si moltiplica per $ 2 $ e il primo membro della produttoria, essendo $ \frac{1}{2}\cdot 2=1 $, venendo moltiplicato per $ 2 $ può essere omesso; nel terzo passaggio, si può confrontare il secondo membro del terzo passaggio con il secondo membro del secondo passaggio: l' $ n $-simo termine del secondo passaggio è sempre maggiore del corrispondente del terzo, poichè $ \frac{n+2}{n+3}>\frac{n}{n+1} $: $ \frac{3}{4}>\frac{2}{3} $, $ \frac{5}{6}>\frac{4}{5} $ e così via
il primo passaggio mi è chiaro. ma è il secondo e il terzo (che tu chiami terzo e suppongo quarto) che non capivp. E credo che debba essere $ \frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+1} $ anche se non sono ancora del tutto convinto della validità del ragionamento... da dove spunta fuori?HumanTorch ha scritto:nel terzo passaggio, si può confrontare il secondo membro del terzo passaggio con il secondo membro del secondo passaggio: l' $ n $-simo termine del secondo passaggio è sempre maggiore del corrispondente del terzo, poichè $ \frac{n+2}{n+3}>\frac{n}{n+1} $: $ \frac{3}{4}>\frac{2}{3} $, $ \frac{5}{6}>\frac{4}{5} $ e così via
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Paul Borget
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Diamine!! E' una banalissima disqz di 2o grado. Oppure è un'iperbole equilatera sul ramo crescente...Melkon ha scritto:E credo che debba essere $ \frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+1} $ anche se non sono ancora del tutto convinto della validità del ragionamento... da dove spunta fuori?
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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ah cavolo che idiota, giustissimo...
ora mi manca solo il penultimo pass dove credo elevi al quadrato ma non capisco perché a destra venga 2/1998... poi è chiaro dividi per 4 e rifai la radice, ma prima, boh...
ora mi manca solo il penultimo pass dove credo elevi al quadrato ma non capisco perché a destra venga 2/1998... poi è chiaro dividi per 4 e rifai la radice, ma prima, boh...
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@ Melkon: prova a moltiplicare la prima espressione con la seconda...karl ha scritto: $ 2P=\displaystyle\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{7}{8}\dots\frac{1997}{1998} $
$ \displaystyle2P>\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\dots\frac{1996}{1997} $
$ \displaystyle4P^2>\frac{2}{1998}--->P>\frac{1}{\sqrt{2*1998}} $