Una lavagna molto affollata (sns 2000)
Inviato: 18 ago 2005, 17:28
Sulla lavagna sono scritti 2n numeri positivi, divisi in due gruppi di n numeri ciascuno, nel modo seguente:
$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $, $ h_1 \geq h_2 \geq \cdots \geq h_n $ .
Jacopo e Niccol`o devono disegnare n rettangoli a testa, indipendentemente l’uno dall’altro e ciascuno sul proprio foglio, in modo che ogni
numero $ b_i $ venga abbinato ad uno ed un sol numero $ h_j $ per formare un rettangolo di base $ b_i $ e altezza $ h_j $.
Jacopo, per pigrizia, abbina $ b_1 $ ad $ h_1 $, $ b_2 $ad $ h_2 $ e cos`ı via fino a $ b_n $ e $ h_n $; Niccol`o, che ha pi`u fantasia, sceglie invece un diverso abbinamento basialtezze. Si dimostri che:
(a) per ogni rettangolo R di Jacopo esiste un rettangolo di Niccol`o che
ha contemporaneamente base e altezza maggiori o uguali di quelle
di R;
(b) indipendentemente dall’abbinamento scelto da Niccol`o, la somma
delle aree dei rettangoli di Jacopo `e minore o uguale di quella
relativa ai rettangoli di Niccol`o.
Il punto (b) credo di averlo risolto con la disequaglianza di raggruppamento ma non so come fare il punto (a).... urge un aiuto.....
$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $, $ h_1 \geq h_2 \geq \cdots \geq h_n $ .
Jacopo e Niccol`o devono disegnare n rettangoli a testa, indipendentemente l’uno dall’altro e ciascuno sul proprio foglio, in modo che ogni
numero $ b_i $ venga abbinato ad uno ed un sol numero $ h_j $ per formare un rettangolo di base $ b_i $ e altezza $ h_j $.
Jacopo, per pigrizia, abbina $ b_1 $ ad $ h_1 $, $ b_2 $ad $ h_2 $ e cos`ı via fino a $ b_n $ e $ h_n $; Niccol`o, che ha pi`u fantasia, sceglie invece un diverso abbinamento basialtezze. Si dimostri che:
(a) per ogni rettangolo R di Jacopo esiste un rettangolo di Niccol`o che
ha contemporaneamente base e altezza maggiori o uguali di quelle
di R;
(b) indipendentemente dall’abbinamento scelto da Niccol`o, la somma
delle aree dei rettangoli di Jacopo `e minore o uguale di quella
relativa ai rettangoli di Niccol`o.
Il punto (b) credo di averlo risolto con la disequaglianza di raggruppamento ma non so come fare il punto (a).... urge un aiuto.....