dimostrare che $ \forall n \in \mathbb N \ \ \forall x \in \mathbb R $
$ $\usestyle \sum_{i=0}^{i=n}{ (-1)^i {n \choose i} (x-i)^n = n! }$ $
ciau
sommatoria-giochetto
Partiamo da :
(1) $ \displaystyle (x+1)^n-x^n={n \choose 1}x^{n-1}+{n \choose 2}x^{n-2} $+$ \displaystyle{n \choose 3}x^{n-3}+\dots+{n \choose n-1}x+{n \choose n} $
(2)$ \displaystyle(x+2)^n-(x+1)^n={n\choose1}(x+1)^{n-1}+{n\choose2}x+1)^{n-2} $+$ \displaystyle{n\choose3}(x+1)^{n-3}+\dots+{n\choose n-1}(x+1)+{n\choose n} $
Sottraendo la (1) dalla (2) ed ordinando il 2° membro secondo le potenze decrescenti di x:
$ \displaystyle(x+2)^n-2(x+1)^n+x^n=n(n-1)x^{n-2}+a_1 x^{n-3}+a_2 x^{n-4}+\dots} $
dove le "a" sono opportuni coefficienti.
Analogamente si ha:
$ \displaystyle(x+3)^n-3(x+2)^n $$ \displaystyle+3(x+1)^n-x^n=n(n-1)(n-2)x^{n-3}+ $$ b_1 x^{n-4}+b_2 x^{n-5}+\dots} $
Per induzione si trova che in generale e':
$ \displaystyle(x+i)^n-{n\choose i}(x+i-1)^n+{n\choose i-1}(x+i-2)^n \displaystyle\dots+(-1)^n{n\choose n}x^n $=
$ =n(n-1)(n-2)\dots (n-i+1)x^{n-i}+c_1x^{n-i-1}+c_2x^{n-i-2}+\dots $
Sostituiamo ora i con n, x+n con x (e quindi x con x-n) ed osservando che in
tal modo tutte le c si annullano perche' non possono
ovviamente comparire potenze ad esponente negativo nel
precedente sviluppo,si avra' appunto:
$ \displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^n{n\choose i}(x-i)^{n-i}=n! $
Forse il mio approccio poteva essere piu' elegante ma alla faccia del ...giochetto.
Leandro
(1) $ \displaystyle (x+1)^n-x^n={n \choose 1}x^{n-1}+{n \choose 2}x^{n-2} $+$ \displaystyle{n \choose 3}x^{n-3}+\dots+{n \choose n-1}x+{n \choose n} $
(2)$ \displaystyle(x+2)^n-(x+1)^n={n\choose1}(x+1)^{n-1}+{n\choose2}x+1)^{n-2} $+$ \displaystyle{n\choose3}(x+1)^{n-3}+\dots+{n\choose n-1}(x+1)+{n\choose n} $
Sottraendo la (1) dalla (2) ed ordinando il 2° membro secondo le potenze decrescenti di x:
$ \displaystyle(x+2)^n-2(x+1)^n+x^n=n(n-1)x^{n-2}+a_1 x^{n-3}+a_2 x^{n-4}+\dots} $
dove le "a" sono opportuni coefficienti.
Analogamente si ha:
$ \displaystyle(x+3)^n-3(x+2)^n $$ \displaystyle+3(x+1)^n-x^n=n(n-1)(n-2)x^{n-3}+ $$ b_1 x^{n-4}+b_2 x^{n-5}+\dots} $
Per induzione si trova che in generale e':
$ \displaystyle(x+i)^n-{n\choose i}(x+i-1)^n+{n\choose i-1}(x+i-2)^n \displaystyle\dots+(-1)^n{n\choose n}x^n $=
$ =n(n-1)(n-2)\dots (n-i+1)x^{n-i}+c_1x^{n-i-1}+c_2x^{n-i-2}+\dots $
Sostituiamo ora i con n, x+n con x (e quindi x con x-n) ed osservando che in
tal modo tutte le c si annullano perche' non possono
ovviamente comparire potenze ad esponente negativo nel
precedente sviluppo,si avra' appunto:
$ \displaystyle \sum_{i=0}^n(-1)^n{n\choose i}(x-i)^{n-i}=n! $
Forse il mio approccio poteva essere piu' elegante ma alla faccia del ...giochetto.
Leandro