Questa me l'ha proposta il Boll, penso di averla risolta, penso di non averla trovata nel forum, penso che questa sia la sezione buona (se ci son problemi avvisate):
Dimostrare che il polinomio $ x^2+x+1 $ divide $ x^{2n}+x^n+1 $ se e solo se $ n $non è multiplo di $ 3 $.
Polinomi e divisibilità
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pic88
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- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
ciao a tutti.
Allora in teoria basterebbe il teorema di Ruffini: si fa vedere che le radici del divisore sono anche radici del dividendo, dando ad n i valori richiesti, e poi si dimostra che per altri valori di n non vale ,
sia p(x) il divisore
le radici del divisore sono le radici terze dell'unità diverse da 1
a= $ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $
b=$ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $
é chiaro che cisacuna di esse, se elevata alla terza dà 1, così se n è multiplo di 3,
n=3k, allora
$ p (a)=p(b) = 1^{2k}+1^{k}+1=3 $
mentre, se n = 3k + 1 allora
$ a^{2n}=a^{6k}a^{2}=a^{2}=b a^{n}= a^{3k}a=a $
dunque p(a)= a+b+1 =0
e lo stesso vale per p(b) .
Se n = 3k +2 un ragionamento analogo ci porta a
$ p(a)=p(b)=a+b+1=0 $
Allora in teoria basterebbe il teorema di Ruffini: si fa vedere che le radici del divisore sono anche radici del dividendo, dando ad n i valori richiesti, e poi si dimostra che per altri valori di n non vale ,
sia p(x) il divisore
le radici del divisore sono le radici terze dell'unità diverse da 1
a= $ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $
b=$ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $
é chiaro che cisacuna di esse, se elevata alla terza dà 1, così se n è multiplo di 3,
n=3k, allora
$ p (a)=p(b) = 1^{2k}+1^{k}+1=3 $
mentre, se n = 3k + 1 allora
$ a^{2n}=a^{6k}a^{2}=a^{2}=b a^{n}= a^{3k}a=a $
dunque p(a)= a+b+1 =0
e lo stesso vale per p(b) .
Se n = 3k +2 un ragionamento analogo ci porta a
$ p(a)=p(b)=a+b+1=0 $
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pic88
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ciao a tutti.
Allora in teoria basterebbe il teorema di Ruffini: si fa vedere che le radici del divisore sono anche radici del dividendo, dando ad n i valori richiesti, e poi si dimostra che per altri valori di n non vale ,
sia p(x) il dividendo
le radici del divisore sono le radici terze dell'unità diverse da 1
a= $ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $
b=$ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $
é chiaro che cisacuna di esse, se elevata alla terza dà 1, così se n è multiplo di 3,
n=3k, allora
$ p (a)=p(b) = 1^{2k}+1^{k}+1=3 $
mentre, se n = 3k + 1 allora
$ a^{2n}=a^{6k}a^{2}=a^{2}=b a^{n}= a^{3k}a=a $
dunque p(a)= a+b+1 =0
e lo stesso vale per p(b) .
Se n = 3k +2 un ragionamento analogo ci porta a
$ p(a)=p(b)=a+b+1=0 $
Allora in teoria basterebbe il teorema di Ruffini: si fa vedere che le radici del divisore sono anche radici del dividendo, dando ad n i valori richiesti, e poi si dimostra che per altri valori di n non vale ,
sia p(x) il dividendo
le radici del divisore sono le radici terze dell'unità diverse da 1
a= $ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $
b=$ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $
é chiaro che cisacuna di esse, se elevata alla terza dà 1, così se n è multiplo di 3,
n=3k, allora
$ p (a)=p(b) = 1^{2k}+1^{k}+1=3 $
mentre, se n = 3k + 1 allora
$ a^{2n}=a^{6k}a^{2}=a^{2}=b a^{n}= a^{3k}a=a $
dunque p(a)= a+b+1 =0
e lo stesso vale per p(b) .
Se n = 3k +2 un ragionamento analogo ci porta a
$ p(a)=p(b)=a+b+1=0 $
Ci vado un po' sul pesante...Il polinomio $ x^2+x+1 $ si annulla per:
$ \displaystyle x = \cos \frac{2}{3}\pi + i\sin \frac{2}{3}\pi $
e per la sua coniugata.A questo punto basta verificare che questa x annula l'altro polinomio.
Applico de moivre e prostaferesi:
$ \displaystyle x^{2n} + x^n + 1 = \cos \frac{4}{3}\pi n + \cos \frac{4}{3}\pi + i\left( {\sin \frac{4}{3}\pi n + \sin \frac{2}{3}\pi n} \right) + 1 = $$ \displaystyle 2\cos \left( {\pi n} \right)\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 2i\sin \left( {\pi n} \right)\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 = $$ \displaystyle 2\cos \left( {\pi n} \right)\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 $
Se n è pari l'equazione da risolvere è:
$ \displaystyle 2\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 = 0 $ sempre verificata
Se n è dispari invece:
$ \displaystyle - 2\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 = 0 $ verficata quando n non è multiplo di 3.
Non c'è bisogno di fare di fare di nuovo tutti i calcoli con l'altra radice perchè se un polinomio ammette una radice,ammette anche la sua coniugata...
$ \displaystyle x = \cos \frac{2}{3}\pi + i\sin \frac{2}{3}\pi $
e per la sua coniugata.A questo punto basta verificare che questa x annula l'altro polinomio.
Applico de moivre e prostaferesi:
$ \displaystyle x^{2n} + x^n + 1 = \cos \frac{4}{3}\pi n + \cos \frac{4}{3}\pi + i\left( {\sin \frac{4}{3}\pi n + \sin \frac{2}{3}\pi n} \right) + 1 = $$ \displaystyle 2\cos \left( {\pi n} \right)\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 2i\sin \left( {\pi n} \right)\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 = $$ \displaystyle 2\cos \left( {\pi n} \right)\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 $
Se n è pari l'equazione da risolvere è:
$ \displaystyle 2\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 = 0 $ sempre verificata
Se n è dispari invece:
$ \displaystyle - 2\cos \left( {\frac{1}{3}\pi n} \right) + 1 = 0 $ verficata quando n non è multiplo di 3.
Non c'è bisogno di fare di fare di nuovo tutti i calcoli con l'altra radice perchè se un polinomio ammette una radice,ammette anche la sua coniugata...
