Bellissima funzionale

[darkcrystal]

Trovare tutte le funzioni $ \mathbb{R}\backslash\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che
$ \displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1+\frac{1}{x(1-x)} $
Io ho una soluzione ma è piuttosto bruttina... volevo sentire voi!
Buon divertimento!

[Igor]

Per ogni $ k\in\mathbb{R}-\{0,1\} $ consideriamo la terna $ \displaystyle(k,\frac{1}{1-k},\frac{k-1}{k})\displaystyle $ e sostituiamo nell'equazione funzionale i tre membri di tale terna, ottenendo il sistema

$ \displaystyle f(k)+f(\frac{1}{1-k})=\frac{k^2-k-1}{k^2-k}\displaystyle $

$ \displaystyle f(\frac{1}{1-k})+f(\frac{k-1}{k})=-\frac{k^2-3k+1}{k}\displaystyle $

$ \displaystyle f(\frac{k-1}{k})+f(k)=\frac{1}{k-1}+k+2\displaystyle $.

Risolvendo il sistema,troviamo che $ \displaystyle f(k)=\frac{k^2+1}{k}\displaystyle $.
Quindi l'unica soluzione all'equazione funzionale è $ \displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\displaystyle $.

[darkcrystal]

E' la mia stessa soluzione... solo che pensavo ci fosse un modo di evitare il conto che segue dal sistema.
Comunque grazie della risposta, ciao!