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Dato il polinomio a coefficienti reali

$ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $,

dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c.

$ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $,

allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ |\lambda| < M+1 $

Edit: Mancava un Valore Assoluto

Gauss_87 ha scritto:Dato il polinomio a coefficienti reali $ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $, dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c. $ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $, allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ \lambda \leq M+1 $

In realtà si può dire di più - si può dire che $ |\lambda| $ < 1+M. Se infatti $ |x| \ge $ M+1, allora $ \displaystyle |P(x)| \ge \left| |x|^n - \sum_{k=0}^n |a_k| |x|^k\right| \ge $ $ \displaystyle\left| |x|^n - M \cdot \frac{|x|^n - 1}{|x| - 1}\right| = \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} $.

Questo problema è la mia nemesi; lo conosco da due mesi, tutte le volte che abbia mai provato a risolverlo, non ho mai cavato un ragno dal buco.

C'è qualche anima pìa che mi voglia scrivere una soluzione dettagliata & istruttiva...? grazie...

Cosa c'è che non è chiaro nella soluzione qui sopra, Ani-sama? Di fatto, ho soltanto applicato la prima e la seconda forma della disuguaglianza triangolare: $ \left| |a| - |b|\right| \le |a+b| \le |a| + |b| $, per ogni $ a,b\in\mathbb{R} $.

HiTLeuLeR ha scritto:

Gauss_87 ha scritto:Dato il polinomio a coefficienti reali $ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $, dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c. $ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $, allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ \lambda \leq M+1 $

In realtà si può dire di più - si può dire che $ |\lambda| $ < 1+M. Se infatti $ |x| \ge $ M+1, allora $ \displaystyle |P(x)| \ge \left| |x|^n - \sum_{k=0}^n |a_k| |x|^k\right| \ge $ $ \displaystyle\left| |x|^n - M \cdot \frac{|x|^n - 1}{|x| - 1}\right| = \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} $.

Protresti spiegare le singole disuguaglianze per essere chiaro, ad esempio...

Se $ |x| \ge $ M + 1 > 1, allora $ |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M = |x|^n(|x| - (M + 1)) + M > 0 $, e perciò

$ \displaystyle \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} = \frac{|x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M}{|x|-1} > 0 $.

Senonché $ \displaystyle\left|\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k\right| \le \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |x|^k \le M \sum_{k=0}^{n-1} |x|^k $, siccome $ |a_k| \le M $, per k = 0, 1, ..., n-1. Inoltre $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |x|^k = \frac{|x|^n - 1}{|x|-1} $, dalla formula che restituisce la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione $ \ne 1 $. Il resto si fa con la disuguaglianza triangolare, come appunto si diceva...

HiTLeuLeR, potresti scrivere un post dove spieghi non tanto le disuguaglianze che fai che sono abbastanza chiare, ma il perchè le consideri?

Hai scritto: se fosse $ |\lambda| \geq M+1 $, allora ... , ma dov'è l'ASSURDO che hai trovato?

Scusaci ma noi non siamo già laureati... siamo miseri liceali.

Gauss_87 ha scritto:Scusaci ma noi non siamo già laureati... siamo miseri liceali.

Figurati! Però a che serve quest'ironia? Basta dare corpo ai dubbi, qualcuno risponderà sempre. Giusto?

Gauss_87 ha scritto: Hai scritto: se fosse $ |\lambda| \geq M+1 $, allora ... , ma dov'è l'ASSURDO che hai trovato?

Sia $ x \in \mathbb{R} $. Allora P(x) = 0 sse |P(x)| = 0. Tuttavia ho dimostrato che, se |x| $ \ge $ M+1, allora |P(x)| > 0. Pertanto l'equazione P(x) = 0 non possiede soluzioni al di fuori dell'intervallo ]-(M+1), M+1[

HiTLeuLeR ha scritto: Però a che serve quest'ironia? Basta dare corpo ai dubbi, qualcuno risponderà sempre. Giusto?

Non era ironico affatto, anzi ero imbarazzato dal fatto che non avevo afferrato l'assurdo che risolve la tesi.
Cmq grazie per la risoluzione, io avevo perso del tempo su questo problema perchè pensavo di utilizzare le RELAZIONI COEFFICIENTI-RADICI visto che avevo informazioni per ipotesi su tutte le radici (in valore assoluto) e su tutti i coefficienti.

SNS 2001, #5.