OliForum Matematico

Sia $ \displaystyle p(x) = a_d x^d + \dots + a_0 $ un polinomio a coefficienti interi. Per ogni intero $ n $, sia $ m = p(n) $.
a) Dimostrare che per ogni intero $ k $ il numero $ p(n+km) $ è divisibile per m.
b) Descrivere i polinomi $ p(x) $ tali che, per ogni $ n $, $ p(n) $ è un numero primo.

Bye,
#Poliwhirl#

a) $ p(n + km) \equiv \sum_{i=0}^d a_i (n + km)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i \equiv p(n) \equiv 0 \bmod m $, per ogni $ k \in \mathbb{Z} $.

b) I polinomi costanti di tipo p(x) = n tali che n è primo in Z.

Scusa Hit puoi spiegarmi perchè:
$ \sum_{i=0}^d a_i (n + km)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i $

Innanzitutto clicca qui. Quindi considera quanto segue.

i) Banalmente $ n + mk \equiv n \bmod m $, per ogni $ n, k \in \mathbb{Z} $.

ii) Tramite la 12): i) $ \Longrightarrow $ $ (n + mk)^i \equiv n^i \bmod m $, per ogni $ n, k \in \mathbb{Z} $ ed i = 0, 1, ..., d.

iii) Tramite la 8): ii) $ \Longrightarrow $ $ a_i (n + mk)^i \equiv a_i n^i \bmod m $, per ogni $ n, k \in \mathbb{Z} $ ed i = 0, 1, ..., d.

iv) Tramite la 5): iii) $ \Longrightarrow $ $ \sum_{i=0}^d a_i (n + mk)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i \bmod m $, per ogni $ n, k, i \in \mathbb{Z} $.

EDIT: inseriti i tag mancanti.

Grazie mille! ho solo dei problemi di visualizzazione con il Tex mi sa che ci manca qualche tag.

Ehm... Sì, li inserisco subito!

HiTLeuLeR ha scritto:a) $ p(n + km) \equiv \sum_{i=0}^d a_i (n + km)^i \equiv \sum_{i=0}^d a_i n^i \equiv p(n) \equiv 0 \bmod m $, per ogni $ k \in \mathbb{Z} $.

b) I polinomi costanti di tipo p(x) = n tali che n è primo in Z.

l'avevo fatto uguale ma non avevo trovato la soluzione, grazie HiTLeuLer mi hai confermato quel che ho fatto!

Scusate se ci torno su, ma come si dimostra che non vi sono altri polinomi oltre a quello costante per cui vale tale proprietà?

Dal punto (a) sai che il polinomio deve assumere per infiniti valori di x lo stesso numero primo p, dunque è necessariamente costante. Credo basti questo

probabilmente interpreto male, però a me sembra di capire che dica che per ogni n p(n) sia un numero primo, non LO STESSO numero primo.

infatti l'affermazione di converge viene dal fatto che nella a abbiamo dimostrato che se $ P(n)=p $, allora per ogni k $ P(n+kp)=mp $ con m intero. Se fosse però $ m $ diverso da 1 avresti che $ P(n+kp) $ non è più primo. Quindi $ P(n+kp)=p $ per ogni k, da cui puoi concludere

Ok chiarissimo! Grazie mille!