OliForum Matematico

Siano $ p , q, r $ reali e si sa che le tre radici di

$ x^3 - px^2 + qx + r=0 $

sono strettamente positive. Quale condizione su p, q, r garantisce l'esistenza di un triangolo avente lati di lunghezza pari alle tre radici?

Secondo i miei calcoli (fatti molto in fretta e ora non ho tempo magari domani) vale il sse
$ (p^2-2q)^2-2(p^4+2q^2-4p^2q - 4rp)> 0 $

Comunque è qualcosa in questo ordine di bruttezza

EDIT: Corretto, grazie Simo

Un po' criptico boll, non ti pare ?? :D
E comunque nella seconda parentesi suppongo tu volevi $ a ^4 +b^4 +c^4 = p^4+2q^2-4p^2q - 4rp $.

allora:

$ p=a+b+c $
$ q=ab+bc+ca $
$ r= -abc $

Lemma 1

$ a,b,c \in R^+ $ sono lati di un triangolo sse:

$ a^2b + b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 - a^3-b^3-c^3 - 2abc = $ $ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 $

dim.

se sono lati di un triangolo allora valgono

$ a+b>c $, $ c+a>b $ e $ b+c>a $ quindi $ a+b-c>0 $ e cicliche. Moltiplicando otteniamo $ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 $.

Supponiamo ora valga $ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 $. Per essere $ >0 $ vuol dire che o tutti i fattori sono positivi o ve ne sono 2 negativi e 1 positivo. Se fossero tutti positivi le 3 disuguaglianze triangolari sono soddisfatte e quindi $ a,b,c $ sono lati di un triangolo.
Supponiamo per assurdo che vi siano due fattori non positivi. supponiamo WLOG che sia $ a+b-c < 0 $ e $ b+c-a <0 $. Sommiamo ora queste disuguaglianze e otteniamo $ 0 > 2b $ contro l'assunzione che $ b \in R^+ $ quindi l'assurdo.

Il problema

Ora non ci resta che esprimere $ a^2b + b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 - a^3-b^3-c^3 - 2abc $ mediante $ p,q,r $.

I primi sei termini sono contenuti in $ pq =(a+b+c)(ab+bc+ca) $ e ci sono anche $ 3abc $ in più. Si vede abbastanza facilmente che $ a^3+b^3+c^3 = p^3 -3pq - 3r $ quindi otteniamo

$ a^2b + b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 - a^3-b^3-c^3 - 2abc = $
$ (pq+3r) - (p^3 -3pq -3r) +2r $

E quindi la condizione è $ 4pq +8r -p^3 > 0 $

@Boll

come ci sei arrivato?

Sì, Simo, volevo mettere quella ma poi ho confuso nella fretta $ a^2b $ con $ a^3b $ e sono stato criptico perchè dovevo andare, non era mia intenzione fare lo sborone.

Visto che nemmeno ora ho troppo tempo, èosto solo un "preprint" della mia idea.

Lemma che ti porti da casa (Iran 1997, quanto fa figo citare le gare dei lemmi!)
$ a,b,c $ sono lati di un triangolo se e solo se vale
$ (a^2+b^2+c^2)^2> 2(a^4+b^4+c^4) $

Dimostrazione La freccia "se sono lati di un triangolo vale" la si fa con la sostituzione di Ravi (a=x+y, b=y+z, c=z+x) e poi bunching o un po' come vi pare.
La freccia "se non lo sono non esce" si fa ricordando che nella formula di Erone, se opportunamente scritta $ LHS-RHS $ compare sotto una radice quadrata, quindi se non è positivo o nullo, l'area non esiste

Conclusione
Visto che c'è un simpatico teorema che lo dice, sappiamo che $ (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) $ essendo simmetrica nelle tre variabili si può esprimere in funzione (polinomiale) solo di $ (a+b+c,ab+bc+ca,abc) $, che sono, a meno del segno, i nostri $ p,q,r $. Quindi ci mettiamo a smanettare e, con un bel po' di algebra bunchosa di quelle che si imparano a furia di moltiplicare somme simmetriche, non sbagliando i conti , si ottiene quello che ho scritto sopra, come ha detto Simo nel suo post.

Boll ha scritto:Visto che c'è un simpatico teorema che lo dice, sappiamo che $ (a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) $ essendo simmetrica nelle tre variabili si può esprimere come combinazione lineare di $ (a+b+c,ab+bc+ca,abc) $

non parlare di cose che non conosci.. al più ogni polinomio simmetrico si può esprimere come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari...
giusto per fare i puntigliosi e rompere le palle a boll, chiaramente.

Volevo dire quello dai, merda di un Golla