Yeah! Facile ma bello per chi è alle prime armi (come me
)
Il polinomio al primo membro è monico;
L'equazione ha tre radici reali quindi possiamo scriverla nella forma $ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0 $;
per la relazione tra radici e coefficienti di un polinomio monico abbiamo:
$ p=-(x_1+x_2+x_3) $
$ q=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 $;
senza perdita di generalità poniamo $ x_1\le x_2 \le x_3 $;
$ d=x_3-x_1 $.
Poniamo la condizione $ p^2 - 3q \ge 0 $
Tutti i tre membri della disuguaglianza sono maggiori o uguali a zero, quindi elevando al quadrato, sostituendo con $ p $ $ q $ e $ d $ con i rispettivi valori in funzione di $ x_1 $ $ x_2 $ e $ x_3 $ e dividendo la diseguaglianza in due parti otteniamo:
(1) $ x_2^2+x_3x_1 \le x_1x_2+x_2x_3 $
che è sempre vera per la disuguaglianza di riarrangiamento quindi essendo equivalente alla prima diseguaglianza dei primi due membri essa è verificata.
(2) $ (x_1+x_3-2x_2)^2 \ge 0 $
che è anch'essa sempre verificata quindi poiché equivalente alla seconda diseguaglianza anche lei è sempre verificata.
Quindi la diseguaglianza
$ \displaystyle \sqrt{p^2 - 3q} \leq d \leq \frac{2}{\sqrt 3} \sqrt{p^2-3q} $ è sempre verificata affinché rimaniamo all'interno del campo di esistenza $ p^2 - 3q \ge 0 $...
Spero funzioni e spero di non aver scritto stupidate
è un Sns quindi soluzioni non molto complesse