disuguaglianza funzioni convesse

[ficus2002]

If $ \displaystyle f $ is a convex function and $ x_{1},x_{2},x_{3} $ lie
in its domain, then

$ \displaystyle f\left( x_{1}\right) +f\left( x_{2}\right) +f\left( x_{3}\right) +f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\right) $
$ \displaystyle \geq \frac{4}{3}\left[ f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) +f\left( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) +f\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}\right) \right] $

[SkZ]

dalla definizione di convessita' ottengo:
$ \displaystyle f(x_1) +f( x_2) +f( x_3) \geq $$ \displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) + f\left( \frac{x_2+x_3}{2}\right) + f\left(\frac{x_3+x_1}{2}\right) $
$ \displaystyle f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} \right) \leq $$ \displaystyle \frac{1}{3}\left[ f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) +f\left( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) +f\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}\right) \right] $
ma non mi torna che si possa sommare membro a membro se le diseguaglianze hanno senso opposto

[SkZ]

puro divertisment
Se ho n punti
$ ~ f ( \langle \rangle )\leq \langle f \rangle $

$ \displaystyle \sum^{\binom{n}{k}} f(\langle \rangle_k) \leq \frac{1}{k}\binom{n}{k-1} \langle f\rangle $
ove con $ ~ \langle \rangle $ indico la media su tutti gli n punti, con $ ~ \langle \rangle_k $ indico la media di k>1 punti e la prima sommatoria e' su tutte le possibili medie diverse di k punti (come da "limite" indicato)

[fph]

ma non mi torna che si possa sommare membro a membro se le diseguaglianze hanno senso opposto

ehm... infatti non si può.
La soluzione vera è un po' più complicata.

(per referenza, questo problema c'è anche sulla dispensa sulle disuguaglianze di Kedlaya -- senza soluzione)

ciao,

[Simo_the_wolf]

Si risolve abbastanza facilmente con Karamata... Per chi non sapesse cos'e' guardate qui