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Ok, so che a voi questo esercizio farà sbellicare dalle risate!

Sia P(x,y) un polinomio a coefficienti reali nelle due variabili x e y tale che P(n,0)=0 per ogni intero positivo n. Si provi che esiste un polinomio Q(x,y) tale che P(x,y)=y*Q(x, y)


Mia soluzione, ma mi sembra un po' troppo stupida: se metto la coppia (n, o) mi vanno via tutti i termini del polinomio che contengono y^qualcosa, e ho quindi un polinomio che ha come variabile solo x. Se questo facesse zero per infiniti valori di n, allora dovrebbe avere grado infinito, il che (almeno credo, ma non c'è scritto da nessuna parte) è impossibile.

Ma si fa così?

Di solito, per un polinomio diverso da polinomio nullo (0 e basta) si definisce il grado come l'esponente più grande della x (e un polinomio costante diverso da 0 ha grado 0), mentre per il polinomio nullo semplicemente non si definisce il grado.
Il grado è un intero non negativo, quindi lasciamo pure stare il grado infinito

Quindi vale questo teorema: un polinomio a coeff. reali di grado n ha al più n radici, che si dimostra semplicemente con ruffini + induzione. (notare che scrivendo "di grado n" ho già supposto che non fosse nullo)
Quindi, se un polinomio ha infinite radici, deve essere il polinomio nullo, e questo ti risolve il problema perchè ti dice in pratica che non c'è nessun termine senza la y.

Oppure, visto che noi tutti amiamo formalizzarci, definendo un polinomio come una funzione f dagli interi nonnegativi a R (dove R è un qualsiasi anello --> il teorema di sopra continua a valere se in R vale la legge dell'annullamento del prodotto, ossia ab=0 implica a=0 o b=0) definitivamente nulla, è naturale definire il grado come il massimo n tale che f(n) è diverso da 0. Questo massimo esiste se e soltanto se f non è il polinomio nullo, e ciò giustifica quanto detto prima

edriv ha scritto: (dove R è un qualsiasi anello --> il teorema di sopra continua a valere se in R vale la legge dell'annullamento del prodotto, ossia ab=0 implica a=0 o b=0)

Visto che noi tutti amiamo formalizzarci R è un dominio di integrità

senza parole...