Polinomio dalla Shortlist 1981

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Cesco
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Polinomio dalla Shortlist 1981

Messaggio da Cesco » 15 ago 2007, 20:33

Se P(x) è un polinomio di grado n tale che $ \displaystyle P(n)=\frac{(n+1-i)!i!}{(n+1)!}=\binom{n+1}{i}^{-1} $ con $ i \in [0; n] $ e intero, trovare P(n+1).
Mi ricorda un po' per come è posto, alcuni esercizi (dalle provinciali di quest'anno, PreIMO 2006 e USA 1975). Cercando di ricalcare il metodo ho definito un polinomio comodo in funzione di P(x) che abbia come radici gli interi da 0 a n+1 per poi trovarne il valore per un x semplice...ma non riesco a trovare il valore del coefficiente di grado più alto nè sono certo di conoscere tutti i fattori del secondo polinomio che ho definito. considerato il livello deve esserci per forza qualcosa sotto...mi piacerebbe avere semplicemente un input per la risoluzione (ma se qualcuno vuole postare la soluzione non c'è ovviamente problema)
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fu^2
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Messaggio da fu^2 » 26 set 2007, 20:13

una informazione....

ma le n radici del polinomio, sono tutte radici intere o possono anche essere radici reali qualsiasi?

poi per esempio,$ P(1)=\binom{2}{i} $ con$ i/in[0,1] $cioè i può assumere o 0 o 1 "casualmente", affinchè p(1) rimanga intero, giusto?

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edriv
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Messaggio da edriv » 26 set 2007, 20:33

L'enunciazione corretta è
$ \displaystyle p(i) = { n+1 \choose i}^{-1} $ per $ \displaystyle i=0,1,\ldots,n $.
(ho appena controllato da kalva)

E chiaramente non è data l'ipotesi che P abbia coefficienti interi...

fu^2
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Messaggio da fu^2 » 26 set 2007, 22:16

quindi dato il polinomio
$ \displaystyle p(i) = { n+1 \choose i}^{-1} $ per $ \displaystyle i=0,1,\ldots,n $ di grado n,
trovare il valore di P(n+1).

qusta è la formulazione giusta del problema?
giusto per sicurezza :D :D

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edriv
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Messaggio da edriv » 26 set 2007, 22:25

No. Devi solo aggiungere che il polinomio ha grado n, così sei sicuro che è unico (altrimenti la domanda non avrebbe molto senso), poi è ok.

fu^2
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Messaggio da fu^2 » 26 set 2007, 22:44

scusa edriv abbi pazienza, io sulla comprensione sono tardo :D

quindi trovare il valore di P(n+1) non è la domanda, giusto?

allora cosa devo trovare con questo polinomio P(i)?...

grazie della pazienza :D

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edriv
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Messaggio da edriv » 27 set 2007, 14:17

Certo, hai interpretato benissimo!
Io ho solo voluto dare attenzione all'ipotesi che P ha grado n. Grazie a questo infatti sappiamo che esiste un unico P che passa per quei punti, e quindi che P(n+1) è ben determinato.

fu^2
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Messaggio da fu^2 » 27 set 2007, 20:35

mi sento sempre più rimbambito :D

essendo i la variabile, fissato il polinomio di grado n, è possibile che P(n+1)=(n+1)^2?

mi pare strano... anche se i due conti che ho fatto risulta così...


mmm

il poco sonno fa male...

mmm

caro edriv spero che tu riesca a sopportar uno così un pò scemo :D :?

ciao

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edriv
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Messaggio da edriv » 27 set 2007, 20:41

Faccio qualche esempio:
con n=1, prendo $ ~ p(x) = \frac -12 x + 1 $ e vedo che p(0) = 1, p(1) = 1/2, quindi va bene, e inoltre p(2) = 0.
con n=2, prendo $ ~ p(x) = \frac 13 x^2 - x + 1 $ e vedo che p(0) = 1, p(1) = 1/3, p(2) = 1/3, quindi va bene, e inoltre p(3) = 1.

Quindi chiaramente (n+1)^2 non può funzionare!

fu^2
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Messaggio da fu^2 » 27 set 2007, 20:55

aaaaa.... ora ho capito :D

grazie della dritta :roll:

ora ci posso pensare con serenità

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edriv
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Messaggio da edriv » 01 ott 2007, 14:13

Fatto bello e importante sui polinomi (tra l'altro anche spiegato da fph a questo senior):
sia P(x) un polinomio (i coefficienti possono essere qualunque cosa) di grado n. Allora, per ogni x:
$ ~ \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i {n+1 \choose i} P(x+i) = 0 $

Dimostrazione: consideriamo Q(x) = P(x+1) - P(x). Allora Q(x) ha grado n-1. Quindi per ipotesi induttiva:
$ ~ \sum_{i=0}^{n} (-1)^i {n \choose i} (P(x+i+1) - P(x+i)) = 0 $
E vi accorgerete senza troppi problemi che questo si riscrive come la nostra tesi.

Dimostrazione alternativa e combinatorialmente soddisfacente: viewtopic.php?t=9281

Come questo ci killa il problema? P ha grado n. Quindi sappiamo che:
$ ~ \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i {n+1 \choose i} P(i) = 0 $
Ricordando che $ ~ P(i) = {n+1 \choose i}^{-1} $ per i=0...n, la formula diventa:
$ ~ \left( \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \right) + (-1)^{n+1} P(n+1) = 0 $
e da qui non sarà troppo difficile credo.

Notiamo anche che, grazie al fatto figo dimostrato sopra, abbiamo una formula esplicita per calcolare l'n+2- esimo valore di un polinomio di grado n, di cui sono dati i valori su n+1 reali in progressione.

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