OliForum Matematico

Dire quale forma deve avere un polinomio $ \mathcal{P}(x) $ affinchè per ogni numero reale si abbia $ 1-x^4 \leq \mathcal{P}(x) \leq 1+x^4 $

Io direi:
chiamo
$ Q(x):=P(x)-1 $
per semplificare ottenendo:
$ -x^4 \le Q(x) \le +x^4 $

Prima dimostro che:
$ deg(Q) \le 4 $
Infatti riscrivo la disegualianza ottenendo:
$ -1 \le \frac{Q(x)}{x^4} \le +1 $
se Q(x) avesse un termine di grado maggiore di 4 allora
$ \lim_{x \to \infty } | \frac{Q(x)}{x^4} | = \infty $
Il che e` assurdo.
Una dimostrazione simile vale per dimostrare il fatto che il modulo del coeff. di $ x^4 \;\;\; \le 1 $.

Per dimostrare che $ Q(x) $ non possiede altri termini che quelli di quarto grado basta considerare che in caso contrario avremmo:
$ \lim_{x \to 0 } | \frac{Q(x)}{x^4} | = \infty $
Anche questo e` assurdo.

Cosi` abbiamo che $ P(x)=Q(x)+1=\alpha x^4 +1 \;\;\;\;\; -1 \le \alpha \le +1 $

Ovviamente ci sarebbe da dimostrare che il limite esiste, ma cio` si fa senza grosse difficolta`.
Spero di non aver detto stupidagini.