Incerchi mistilinei e concorrenze

[Francesco Sala]

Sia dato un triangolo $ ABC $ inscritto in una circonferenza $ \Gamma $ di centro $ O $; chiamiamo $ \omega_A $ il cerchio tangente ai lati $ AB,AC $ e tangente internamente al cerchio $ \Gamma $ nel punto $ A_1 $; similmente definiamo le circonferenze $ \omega_B,\omega_C $ e i punti $ B_1,C_1 $.
a) Dimostrare che le rette $ AA_1,BB_1,CC_1 $ concorrono in un punto $ P $
b) Sia $ Q $ un punto sulla retta $ OP $ e chiamiamo $ A_2 $ la seconda intersezione di $ \omega_A $ con la retta $ A_1Q $; similmente definiamo i punti $ B_2,C_2 $. Dimostrare che le rette $ AA_2,BB_2,CC_2 $ concorrono.