Gara Junior 1990 - Olimpiadi di matematica

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Luka13
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Gara Junior 1990 - Olimpiadi di matematica

Messaggio da Luka13 » 21 mar 2020, 11:38

Buongiorno a tutti,
Vi propongo un problema trovato sul mio libro di matematica, stavo studiando qualche nozione di geometria seguendo il programma per i test di ammissione della SNS e mi è capitato sotto mano, mi sta facendo impazzire :evil: perché, essendo un libro di prima superiore, dovrebbe essere semplice da solvere.

"Ricordiamo che due triangoli sono uguali se hanno tre lati di uguale lunghezza (per esempio il triangolo di lati 2, 15, 14 è uguale al triangolo di lati 2, 14, 15). Dire quanti sono i triangoli distinti aventi i lati di lunghezza intera e perimetro uguale a 31.

(A) 6
(B) 24
(C) 30
(D) 55
(E) 125

(Olimpiadi della matematica, Gara Junior, 1990)

Penso di poter arrivare a un risultato per esclusione delle precedenti possibilità, però vorrei sapere come lo risolvereste voi, che di sicuro siete più ingegnosi e rigorosi di me. :wink:

Ringrazio tutti in anticipo

Luka13
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Re: Gara Junior 1990 - Olimpiadi di matematica

Messaggio da Luka13 » 22 mar 2020, 14:54

Buongiorno a tutti :shock: ,

Volevo proporvi la strada che ho percorso per cercare di risolvere questo problema sperando che qualcuno possa dirmi se sto sbagliando o se sono sulla retta via.

Considerati i 3 lati a,b,c e dato che il valore massimo di un lato deve essere 29 (poichè i lati devono essere interi è quindi la lunghezza minima è 1, nel caso estremo in cui a=1 e b=1, c deve per forza essere 29), ho cominciato a fissare il valore di a=1, e da lì ho individuato tutte le varie combinazioni di b, c che sommate tra loro dessero come risultato 30. E così per tutti i valori di a. (a=2 e tutte le coppie di b,c la cui somma fosse 29 ecc...).
Quindi in questo caso (a=1) otterrei 29 combinazioni possibili, una in meno (28) per a=2, due in meno (27) per a=3, e così via, quindi a mio avviso il risultato di combinazioni possibili dovrebbe essere:
$ 29+28+27+26+...+1 = 435 $

Così però ho ottenuto un numero di combinazioni possibili che prevede di utilizzare gli stessi tre numeri in ordine diverso, questo darebbe origine a triangoli congruenti, quindi ho considerato che i 3 numeri a, b, c possono essere arrangiati in 6 modi diversi perciò l'idea era di dividere il numero di combinazioni per 6 in modo da "eliminare" le combinazioni ripetute:
$ 435/6 = 72.5 $

C'è qualcosa che non va, a livello concettuale almeno la prima parte della risoluzione mi sembra corretta, non capisco dove sbaglio.

Ringrazio chiunque possa anche solo dirmi che ci sta provando, almeno per solidarietà :mrgreen:

p.s. ho trovato questa soluzione https://it.answers.yahoo.com/question/i ... dKmAnBrbjl che però mi sembra di capire faccia uso di sommatorie e sistemi, cosa che in prima superiore non si ha ancora affrontato di sicuro, non so se sono io fissato che esista un metodo più semplice o se esiste davvero :evil:

matpro98
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Re: Gara Junior 1990 - Olimpiadi di matematica

Messaggio da matpro98 » 22 mar 2020, 23:15

Sicuramente devi tenere conto della disuguaglianza triangolare (che non hai considerato). Poi, per il fatto che ti esce un risultato non intero, ti faccio notare che ad esempio la terna $(1,15,15)$ la conti 2 volte e non 6

CiPi
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Re: Gara Junior 1990 - Olimpiadi di matematica

Messaggio da CiPi » 13 mag 2020, 15:36

Posso sicuramente chiamare A il lato maggiore (uno dei due se ce ne sono di uguali). Il valore di questo lato è sicuramente compreso tra 11 (altrimenti almeno uno degli altri due sarebbe maggiore) e 15 (disuguaglianza triangolare). La somma B+C (altri due lati) è quindi compresa tra 16 e 20. A questo punto trovo l'intervallo in cui può stare il secondo lato più lungo (B).
Per (B+C)=16 ho che il valore massimo è 15 (15 e 1) e il minimo è 8 (altrimenti C sarebbe + lungo). Ci sono quindi 8 possibili scelte. (Noto che C a questo punto è determinato).
Faccio allo stesso modo per B+C=17,18,18,20. Ottenendo i valori 6,5,3,2. La somma è quindi 24, risposta B.

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