Ah le costruzioni... queste sconosciute!

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Mattysal
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Ah le costruzioni... queste sconosciute!

Messaggio da Mattysal » 04 apr 2021, 15:14

Spesso mi è capitato di sentire dei miei amici che volevano dei problemi specifici di geometria che richiedevano delle costruzioni. In realtà con l’allenamento se ne trovano di tanti, ma mi sembrava giusto, a beneficio di tutti, dedicare un topic a parte per questi problemi.
Vi propongo quindi tre problemi facilotti che (dovrebbero) richiedere l’aggiunta di punti o costruzioni a caso. Se avrò tempo (e spero di sì), posterò le soluzioni nei prossimi giorni specificando l’idea che mi ha spinto a farlo. Buona fortuna!

P1. Sia $ABCD$ un quadrilatero convesso tale che $AB+CD=AD$. Dimostrare che l’asse di $BC$ e le bisettrici degli angoli $\widehat{BAD}, \widehat{ADC}$ concorrono.

P2. Sia $ABCD$ un quadrilatero convesso tale che l’angolo in $C$ sia retto. Il punto $P$ sta sul lato $CD$ in modo che $\widehat{APD}=\widehat{BPC}$ e $\widehat{BAP}=\widehat{ABC}$. Dimostrare che $2BC=AP+BP$.

P3. Sia $ABC$ un triangolo e $P$ un punto interno. Sia $H$ il punto su $BC$ tale che la bisettrice di $\widehat{AHP}$ sia perpendicolare alla retta $BC$. Sapendo che $\widehat{ABC}=\widehat{HPC}$ e che $\widehat{BPC}=130^{\circ}$ trovare l’ampiezza di $\widehat{BAC}$.

Luca Milanese
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Re: Ah le costruzioni... queste sconosciute!

Messaggio da Luca Milanese » 04 apr 2021, 19:29

Testo nascosto:
P1)
Sia [math] il punto appartenente al segmento [math] tale che [math] e [math]. I triangoli [math] e [math] sono allora entrambi isosceli, il primo sulla base [math] e il secondo sulla base [math]. Pertanto la bisettrice di [math] coincide con l'asse di [math], e similmente la bisettrice di [math] coincide con l'asse di [math]. Questi due assi si incontrano nel circocentro di [math], per il quale, per definizione, passa anche l'asse di [math], e dunque la tesi è dimostrata. [math]
P2)
Si consideri la circonferenza [math] circoscritta al triangolo [math], e sia [math] l'intersezione fra [math] e la bisettrice di [math]. Siano poi [math] e [math] i piedi delle altezze da [math] rispettivamente sulle rette dei segmenti [math] e [math]. Dalla definizione di bisettrice come luogo geometrico si ha [math], e inoltre [math] in quanto cordi insistenti su archi alla circonferenza congruenti ([math]). Perciò dal teorema di Pitagora segue [math], e dunque [math]. Inoltre, per il primo criterio di congruenza i triangoli [math] e [math] risultano congruenti, da cui [math]. Poiché [math], si ha che [math] è perpendicolare a [math] e dunque è parallelo a [math], perciò
[math]
Da questa catena di uguaglianze segue [math]. Inoltre [math], perciò risulta [math] e [math]. I triangoli [math] e [math] sono simili, dunque [math]. Da ciò segue [math], cioè [math] [math]
P3)
Sia [math] l'intersezione fra [math] e il prolungamento di [math]. Detto [math], si ha per ipotesi
[math]
[math]
[math]
Essendo [math] per ipotesi si ottiene che i triangoli [math] e [math] sono simili, dunque [math]. Da ciò segue che il quadrilatero [math] è ciclico, dunque
[math], e
[math]
Essendo [math], risulta ciclico anche il quadrilatero [math], perciò
[math] e
[math]
Ma [math]
[math]
[math]
Nel triangolo [math] si ha [math], dunque:
[math]
[math]

Mr.73
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Re: Ah le costruzioni... queste sconosciute!

Messaggio da Mr.73 » 07 apr 2021, 12:54

Ciao! Propongo una soluzione credo un po' diversa per il Problema 2
Testo nascosto:
L'idea sarebbe considerare $ E $, simmetrico di $ B $ rispetto alla retta $ CD $. Osservato che $ BC $ è perpendicolare a $ CD $, segue che $ BE $ è perpendicolare a $ CP $, cioè $ CP $ è altezza di$ BE $. Inoltre, per simmetria, $ BC = CE $, cioè $ CP $ è anche mediana, da cui il triangolo $ \triangle{BPE} $ è isoscele su base $ BE $. Segue che $ CP $ è anche bisettrice, quindi $ \widehat{BPC} = \widehat{CPE} $, ma, per ipotesi, $ \widehat{BPC} = \widehat{APD} $, quindi $ \widehat{APD} = \widehat{BPC} $. Dato l'allineamento dei punti $ D $ , $ P $ e $ C $ segue l'allineamento dei punti $ A $ , $ P $ ed $ E $. A questo punto, abbiamo che, per ipotesi, vale $ \widehat{BAP} = \widehat{ABC} \longrightarrow \widehat{BAE} = \widehat{ABE} $ , dunque che $ AE = BE $ , da cui, date le costruzioni fatte, segue la tesi.

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