Doppio SNS 1996!
Inviato: 17 ago 2008, 14:19
Problema 3.) Sia P un poliedro e siano F, S e V i numeri delle sue facce, spigoli e vertici. Si assuma che per P valga la formula di Eulero F - S + V = 2.
1)Provare che P ha qualche faccia con meno di 6 lati.
2)Detto k il numero delle facce con meno di 6 lati, determinare il minimo valore possibile per k.
Problema 6.)A partire da un cerchio $ \displaystyle C_1 $ tracciare successivametne un triangolo equilatero $ \displaystyle P_1 $ inscritto in $ \displaystyle C_1 $, il cerchio $ \displaystyle C_2 $ inscritto in $ \displaystyle P_1 $, un quadrato $ \displaystyle P_2 $ inscritto in $ \displaystyle C_2 $, il cerchio$ \displaystyle C_3 $ inscritto in $ \displaystyle P_2 $, un pentagolo regolare $ \displaystyle P_3 $ inscritto in $ \displaystyle C_3 $, e così via, ottenendo così una successione infinita di cerchi e poligoni regolari concentrici.
Dimostrare che l'intersezione di tutti i cerchi $ \displaystyle C_n $ è un cerchio di raggio non nullo.
Se necessario, si può ricorrere alla seguente disuguaglianza, valida per ogni $ \displaystyle k \geq 1 $:
$ \displaystyle \frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{(k+2)^2}+\frac{1}{(k+3)^2}+... < \frac{1}{k} $
Commenti: ho corretto la disuguaglianza (anche se comunque era vera anche quella di prima, e serviva allo stesso modo). Il problema 6 secondo il libro da cui è tratto non è particolarmente difficile, secondo me sì.
1)Provare che P ha qualche faccia con meno di 6 lati.
2)Detto k il numero delle facce con meno di 6 lati, determinare il minimo valore possibile per k.
Problema 6.)A partire da un cerchio $ \displaystyle C_1 $ tracciare successivametne un triangolo equilatero $ \displaystyle P_1 $ inscritto in $ \displaystyle C_1 $, il cerchio $ \displaystyle C_2 $ inscritto in $ \displaystyle P_1 $, un quadrato $ \displaystyle P_2 $ inscritto in $ \displaystyle C_2 $, il cerchio$ \displaystyle C_3 $ inscritto in $ \displaystyle P_2 $, un pentagolo regolare $ \displaystyle P_3 $ inscritto in $ \displaystyle C_3 $, e così via, ottenendo così una successione infinita di cerchi e poligoni regolari concentrici.
Dimostrare che l'intersezione di tutti i cerchi $ \displaystyle C_n $ è un cerchio di raggio non nullo.
Se necessario, si può ricorrere alla seguente disuguaglianza, valida per ogni $ \displaystyle k \geq 1 $:
$ \displaystyle \frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{(k+2)^2}+\frac{1}{(k+3)^2}+... < \frac{1}{k} $
Commenti: ho corretto la disuguaglianza (anche se comunque era vera anche quella di prima, e serviva allo stesso modo). Il problema 6 secondo il libro da cui è tratto non è particolarmente difficile, secondo me sì.