OliForum Matematico

Ci si propone di congiungere con una strada due località A e B che distano 4 km, fra le quali si trova una zona Z costituita da terreno pietroso ed avente la forma di un cerchio con centro nel punto medio di AB e raggio di 1 km.

(a) Sapendo che, a parità di lunghezza, il costo di costruzione della strada nella zona pietrosa è $ ~\lambda $ volte ($ ~\lambda $ numero reale maggiore di 1) quello relativo alla zona circostante, determinare due punti P, Q sul bordo di Z in modo tale che il percorso APQB (vedi figura) sia il più economico possibile.

(b) Discutere poi il caso più generale in cui si considerano percorsi formati, oltre che da tratti rettilinei, anche da eventuali tratti curvilinei contenuti nel bordo di Z (dove il costo unitario di costruzione si può considerare lo stesso che nella zona esterna a Z).

Ho cercato ma non ho trovato niente. Se è già stato postato mandatemi un MP!

Carino questo problema! A me è venuto subito in trigonometria..
Posterò la dimostrazione dopo che avrò ragionato un po' anche sulla seconda richiesta..

Coraggio! La seconda parte è stupenda!

Ma esiste una soluzione non analitica?

Cosa intendi per "analitica"? Intendi anche una soluzione con un po' di trigonometria

mmm....trigonometria e derivate??

Appunto, derivate. Io non ci riesco, senza. Ma il problema si trova in problem solving olimpico, quindi assumo che l'OP sappia risolverlo senza analisi.

Domanda: Chi è l'OP?
Comunque dato che il problema è un SNS mi sembra plausibile che ci siano di mezzo le derivate...anch'io so farlo solo così...

..ehm..anche io ho usato le derivate.. perché era il modo migliore per trovare il minimo di $ \sqrt{5-4x}+\lambda x $ dove $ x=\cos \hat{AOP} $ ..

Alex90 ha scritto:Domanda: Chi è l'OP?
Comunque dato che il problema è un SNS mi sembra plausibile che ci siano di mezzo le derivate...anch'io so farlo solo così...

L'OP è kn.
Il punto non è che il problema è un SNS, ma che si trova in problem solving olimpico.

Io ho aggirato il problema del minimo ponendo $ \displaystyle~x=1-\frac{\tan^2(x)}{4} $ (la x è quella di Federiko...).
Posso fare questa sostituzione dato che è $ \displaystyle~\frac{1}{2}\le x\le 1 $ ($ \displaystyle~x=\frac{1}{2} $ quando AP e BQ sono tangenti).
Con qualche passaggio algebrico si trova che il minimo si ottiene con uno dei due estremi ($ \displaystyle~\frac{1}{2} $ e 1)
Qualcuno sa com'è la soluzione ufficiale?
@Tibor: cosa significa OP?

Ok ottimo, era quello che volevo.

OP significa Original Poster. Uh, significa anche OverPowered, ma non intendevo questo.

Tibor Gallai ha scritto:Uh, significa anche OverPowered, ma non intendevo questo.

Non ti smentisci mai
Piccolo refuso: intendevo dire $ \displaystyle~x=1-\frac{\tan^2(u)}{4} $

Battuto Alex90 per 21 secondi

Tibor Gallai ha scritto:

Alex90 ha scritto:Domanda: Chi è l'OP?

OP significa Original Poster

Questo volevo sapere

secondo me intanto si vede che la strada da fare è simmetrica rispetto all'asse di AB,siccome ogni percorso non simmetrico può presentare due tratti (uno a destra di dell'asse AB e uno alla sinistra)che possono avere costi diversi,e in quel caso il tratto a costo maggiore sarà sostituito da quello a costo minore,oppure se i costi dei due tratti sono uguali si può comunque sostituire un semipercorso con l'altro,senza modificare il costo totale,e creare un pèercorso simmetrico rispetto all'asse di AB.inoltre il percorso nella zona pietrosa è perpendicolare all'asse.quindi basta calcolare il percorso minimo necessario a raggiungere un qualsiasi punto dell'asse di AB.ho detto delle cose ovvie??