Coniche con assi di simmetria perpendicolari(Own)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

1) Prendiamo una conica $ \Gamma_A $ con un asse di simmetria $ l_a $, una retta $ l_b $ perpendicolare a $ l_a $ e una conica $ \Gamma_B $ con asse $ l_b $.
Dimostrare che se $ \Gamma_A $ e $ \Gamma_B $ si intersecano in 4 punti distinti allora essi stanno sulla stessa circonferenza.

[OriginalBBB]

Ma non era stato già proposto un esercizio simlile?

[ndp15]

Ma non era stato già proposto un esercizio simlile?

E' una generalizzazione di:

Date due parabole con assi tra loro perpendicolari che si intersecano in 4 punti distinti, allora per i 4 punti passa una ed una sola circonferenza.

Ora però fare tutto con la geometria analitica, sfruttando il fatto che tutte le coniche hanno equazione $ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $, mi pare quantomeno più problematico.

[Tibor Gallai]

Addirittura l'equazione generica... Se dice che gli assi sono perpendicolari...

[fph]

Ora però fare tutto con la geometria analitica, sfruttando il fatto che tutte le coniche hanno equazione $ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $, mi pare quantomeno più problematico.

Sì, ma se consideri solo tutte le coniche che hanno come asse di simmetria l'asse x l'equazione si semplifica...

[ndp15]

Avete ragione, semplicemente non ho provato nemmeno un secondo a ragionare sul problema, sbagliando ovviamente. Dopo pranzo vedrò di riparare risolvendolo, almeno si spera

[Tibor Gallai]

Non farti intimorire dall'"own", non ci scommetterei. Un enunciato del genere o è falso, o è noto.

[ghilu]

Prendendo gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani le equazioni non hanno termini in xy (è la cosa fondamentale) dunque sono così:
$ f(x)+g(y)=a $
$ h(x)+i(y)=b $
Dove i quattro polinomi indicati hanno al massimo grado 2, dove il coefficiente del termine di grado 2 è, rispettivamente: F,G,H,I.
Sommando la prima equazione a "k" volte l'altra, si ottiene:
$ p(x)+q(y)=c $,
dove i polinomi hanno al massimo grado 2 e il coefficiente del termine di grado 2 è, rispettivamente:
F+kH e G+kI.
Per ottenere una circonferenza essi devono essere uguali:
$ k=\frac{F-G}{I-H} $.
Possibile se $ I\neq H $, nel qual caso la seconda equazione sarebbe già una circonferenza.
Si noti che non si ottiene una retta perché le intersezioni (volendo, complesse) sono 4.

A questa risoluzione si poteva pervenire:
-giocando con le equazioni;
-ragionando, come in 3°-4° di alcuni licei: studiare le intersezioni comuni a più coniche significa utilizzate il fascio di coniche (cioè combinazioni lineari).