Quadrilatero bicicletta
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Quadrilatero bicicletta
Abbiamo un signor quadrilatero $ ABCD $ detto biciclico poichè ha una circonferenza che passa per i suoi 4 vertici (ed è quindi ciclico) e ha anche una circonferenza che tange internamente i suoi quattro lati (e dunque è circoscrittibile) in punti $ A_1, B_1, C_1, D_1 $.
Dimostrare che le diagonali di $ A_1B_1C_1D_1 $ sono perpendicolari
Dimostrare che le diagonali di $ A_1B_1C_1D_1 $ sono perpendicolari
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Rispondo da gnubbo, ma non mi scuso per l'ignoranza perchè sul regolamento c'è scritto di non farlo
Non basta osservare che l'unico quadrilatero contermporaneamente inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza è un quadrato? Da lì si dimostra facilmente che i punti in cui la circonferenza interna tange i lati sono i punti medi e quindi il secondo quadrilatero ottenuto unendo tali punti è un secondo quadrato... Con diagonali perpendicolari
Non basta osservare che l'unico quadrilatero contermporaneamente inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza è un quadrato? Da lì si dimostra facilmente che i punti in cui la circonferenza interna tange i lati sono i punti medi e quindi il secondo quadrilatero ottenuto unendo tali punti è un secondo quadrato... Con diagonali perpendicolari
Per cellula: ce ne sono altri, come per esempio un deltoide ciclico (angoli uguali opposti di 90° ciascuno).
Innanzitutto si noti che, essendo $ A_1B_1C_1D_1 $ ciclico, esso è convesso (così non si hanno le menate di diagonali che si incontrano esternamente al quadrilatero). Per metterci d'accordo sui vertici, pongo i punti nel seguente ordine, seguendo i lati di $ ABCD $: $ AA_1BB_1CC_1DD_1 $.
Le due diagonali, $ A_1C_1 $ e $ B_1D_1 $ si incontrino nel punto $ H $. I quadrilateri (con ovvio significato di simbologia) $ AA_1HD_1, BB_1HA_1, CC_1HB_1, DD_1HC_1 $ sono ciclici, perché è, per esempio $ \hat{HA_1B} = \hat{BB_1H} =\displaystyle\frac{\pi}{2} $.
Dunque, per esempio, $ \hat{A_1HD_1} + \hat{D_1AA_1} = \pi $, e anche $ \hat{B_1HC_1} + \hat{C_1CB_1} = \pi $, ed essendo $ \hat{A_1AD_1} + \hat{B_1CC_1} = \pi $, si evince $ \hat{D_1AA_1} = \hat{C_1HB_1} $ e $ \hat{C_1CB_1} = \hat{D_1HA_1} $, quindi $ \hat{D_1HA_1} + \hat{C_1HB_1} = \hat{D_1AA_1} + \hat{C_1CC_1} = \pi $ (1).
Ma è $ \hat{D_1HA_1} = \hat{C_1HB_1} $ perché opposti al vertice $ H $, quindi sarà, per la (1), $ \hat{D_1HA_1} = \hat{C_1HB_1} = \displaystyle\frac{\pi}{2} $.
Innanzitutto si noti che, essendo $ A_1B_1C_1D_1 $ ciclico, esso è convesso (così non si hanno le menate di diagonali che si incontrano esternamente al quadrilatero). Per metterci d'accordo sui vertici, pongo i punti nel seguente ordine, seguendo i lati di $ ABCD $: $ AA_1BB_1CC_1DD_1 $.
Le due diagonali, $ A_1C_1 $ e $ B_1D_1 $ si incontrino nel punto $ H $. I quadrilateri (con ovvio significato di simbologia) $ AA_1HD_1, BB_1HA_1, CC_1HB_1, DD_1HC_1 $ sono ciclici, perché è, per esempio $ \hat{HA_1B} = \hat{BB_1H} =\displaystyle\frac{\pi}{2} $.
Dunque, per esempio, $ \hat{A_1HD_1} + \hat{D_1AA_1} = \pi $, e anche $ \hat{B_1HC_1} + \hat{C_1CB_1} = \pi $, ed essendo $ \hat{A_1AD_1} + \hat{B_1CC_1} = \pi $, si evince $ \hat{D_1AA_1} = \hat{C_1HB_1} $ e $ \hat{C_1CB_1} = \hat{D_1HA_1} $, quindi $ \hat{D_1HA_1} + \hat{C_1HB_1} = \hat{D_1AA_1} + \hat{C_1CC_1} = \pi $ (1).
Ma è $ \hat{D_1HA_1} = \hat{C_1HB_1} $ perché opposti al vertice $ H $, quindi sarà, per la (1), $ \hat{D_1HA_1} = \hat{C_1HB_1} = \displaystyle\frac{\pi}{2} $.
Ultima modifica di Gauss91 il 21 dic 2009, 18:51, modificato 3 volte in totale.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
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altri due fattarelli interessanti:
1) chiamiamo $ O $ il circocentro di $ ABCD $ e $ O_1 $ quello di $ A_1B_1C_1D_1 $. Come noto $ AC $, $ BD $, $ A_1C_1 $, $ B_1D_1 $ concorrono in un punto che chiamiamo $ T $.
Allora $ O $, $ O_1 $, $ T $ sono allineati. [è già stato postato sul forum]
2) Chiamiamo $ S $ l'intersezione di $ AB $ con $ CD $ e $ W $ l'intersezione di $ BC $ e $ DA $. Allora $ O $ è l'ortocentro di $ STW $ (o S_t_w ).
1) chiamiamo $ O $ il circocentro di $ ABCD $ e $ O_1 $ quello di $ A_1B_1C_1D_1 $. Come noto $ AC $, $ BD $, $ A_1C_1 $, $ B_1D_1 $ concorrono in un punto che chiamiamo $ T $.
Allora $ O $, $ O_1 $, $ T $ sono allineati. [è già stato postato sul forum]
2) Chiamiamo $ S $ l'intersezione di $ AB $ con $ CD $ e $ W $ l'intersezione di $ BC $ e $ DA $. Allora $ O $ è l'ortocentro di $ STW $ (o S_t_w ).
Sbaglio o per questo basta che ABCD sia ciclico (se definiamo T come l'incontro delle sue diagonali)?¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:2) Chiamiamo $ S $ l'intersezione di $ AB $ con $ CD $ e $ W $ l'intersezione di $ BC $ e $ DA $. Allora $ O $ è l'ortocentro di $ STW $ (o S_t_w ).
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
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lol hai ragione, alla fine è solo un semplice fatto di polari, al massimo può servire per dimostrare il punto 1 XD
vabè allora cambiamo il 2:
2) Detto R il raggio della crf circoscritta, r quello di quella inscritta e d la distanza fra i centri di esse allora
$ \displaystyle \frac{1}{(R+d)^2} + \frac{1}{(R-d)^2} = \frac{1}{r^2} $
vabè allora cambiamo il 2:
2) Detto R il raggio della crf circoscritta, r quello di quella inscritta e d la distanza fra i centri di esse allora
$ \displaystyle \frac{1}{(R+d)^2} + \frac{1}{(R-d)^2} = \frac{1}{r^2} $
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