Punto di Lemoine e Baricentro

[Giuseppe R]

Un bel problemino da Kedlaya:
Siano D, E, F i piedi delle 3 simmediane del triangolo ABC. Mostrare che il punto di Lemoine di ABC (punto di incontro delle 3 simmediane) è il baricentro di DEF.

[Rosinaldo]

spiega cos'è una simmediana,no?

[Bake]

spiega cos'è una simmediana,no?

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmedian

[Giuseppe R]

spiega cos'è una simmediana,no?

Anticipato... comunque la simmediana è la ceviana (segmento che parte da un vertice del triangolo e arriva sul lato opposto) simmetrica della mediana rispetto alla bisettrice.

[kn]

sicuro che sia vero?

[Tin-Tan]

Anch’io ho dei dubbi, a me viene che quello è vero se e solo se il triangolo ABC è equilatero.

[Giuseppe R]

"Let D,E, F be the feet of the symmedians of triangle ABC. Prove
that the Lemoine point of ABC is the centroid of DEF"
(pag 61 del Kedlaya)
http://www-math.mit.edu/~kedlaya/geomet ... 060118.pdf

A meno che non abbia sbagliato a tradurre dite che c'è un errore nel testo?

[karl]

Il teorema non sembra vero in generale.E' vero invece che il punto K di Grebe
( o di Lemoine) di un triangolo ABC è il centroide del triangolo pedale di K
rispetto ad ABC.Ovvero del triangolo che ha per vertici le proiezioni ortogonali
di K sui lati di ABC.L'ho provato per un triangolo rettangolo e torna.Ho scelto il
triangolo rettangolo perché per questo tipo di triangolo il punto K è esattamente
il punto medio dell'altezza relativa all'ipotenusa.

[Giuseppe R]

Il teorema non sembra vero in generale.E' vero invece che il punto K di Grebe
( o di Lemoine) di un triangolo ABC è il centroide del triangolo pedale di K
rispetto ad ABC.Ovvero del triangolo che ha per vertici le proiezioni ortogonali
di K sui lati di ABC.L'ho provato per un triangolo rettangolo e torna.Ho scelto il
triangolo rettangolo perché per questo tipo di triangolo il punto K è esattamente
il punto medio dell'altezza relativa all'ipotenusa.

Infatti non ci riuscivo proprio... forse come piedi intendeva proprio le proiezioni.

Chi riuscisse a risolverlo con le proiezioni del punto di Lemoine può comunque scrivere qui la dimostrazione...

[karl]

Sia ABC il triangolo,K il suo punto di Grebe e D,E,F le proiezioni ortogonali di esso sui tre lati.E' noto che le lunghezze di KD,KE e KF sono proporzionali alle lunghezze a,b,c dei lati di ABC (se qualcuno si vuole cimentare nella dimostrazione...) e dunque :
(1) $ \displaystyle \bar{KD}=ka,\bar{KE}=kb,\bar{KF}=kc $
[ i valori ka,kb,kc,presi con segno opportuno ,sono anche detti coordinate normali o trilineari di K].
E' facile calcolare la costante di proporzionalità k.Infatti,detta S l'area di ABC,risulta:
$ \displaystyle 2S=2\cdot Area(BKC)+2\cdot Area(CKA)+2\cdot Area(AKB) $
Oppure :
$ 2S=\bar{KD}\cdot a+\bar{KE}\cdot b+\bar{KF} \cdot c $
E per la (1):
$ \displaystyle 2S=k(a^2+b^2+c^2) $
da cui:
$ \displaystyle k=\frac{2S}{a^2+b^2+c^2} $
Ora abbiamo :
$ \displaystyle Area(EKF)=\frac{1}{2}\bar{KE}\cdot\bar{KF}\sin(\pi-\alpha) $
E per la (1):
$ \displaystyle Area(EKF)=\frac{1}{2} k^2bc\sin\alpha $
Ma $ \displaystyle bc\sin\alpha=2S $ e pertanto avremo:
$ \displaystyle Area(EKF)=\frac{1}{2} k^2\cdot 2S=\frac{4S^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} $
Analogamente si ottiene che :
$ \displaystyle Area(EKD)=Area(DKF)=\frac{4S^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} $
Da tutto questo si trae che i triangoli EKF,EKD e DKF sono equiestesi e questa è la proprietà caratterizzante del centroide di un triangolo.
Segue pertanto che il punto K è effettivamente il baricentro del triangolo pedale DEF.