Rapporto di segmenti costante con 2 circonferenze tangenti

[dario2994]

Siano $\omega$ una circonferenza e $\Gamma$ un'altra circonferenza tangente internamente ad $\omega$ nel punto $A$. Sia $P$ un punto su $\omega$. La tangente (una a scelta) da $P$ a $\Gamma$ tange $\Gamma$ nel punto $B$.
Dimostrate che $\frac{AP}{PB}$ è costante al variare di $P$.

p.s. questo dovrebbe essere decisamente più noto di quanto non è

[Cheyenne]

Chiamo $ H $ il punto di intersezione tra la corda $ PA $ della circonferenza $ \omega $ e la circonferenza $ \Gamma $. Per il teorema della secante e della tangente $ PB^2=PA\cdot PH $, quindi il rapporto $ \frac{PA}{PB}=\sqrt{\frac{PA}{PH}} $.

Traccio il raggio $ r $ che congiunge il centro $ O $ della circonferenza $ \Gamma $ con il punto $ A $ e chiamo $ \alpha $ l'angolo $ \widehat{OAH} $. Il segmento $ HA=2r\cos{\alpha} $. Ora traccio il raggio $ R $ che congiunge il centro $ O' $ della circonferenza $ \omega $ con il punto $ A $. Poiché i punti $ O' $, $ O $ ed $ A $ sono allineati, l'angolo $ \widehat{O'AP}=\widehat{OAH} $.

Dunque $ PA=2R\cos{\alpha} $ e $ PH=2R\cos{\alpha}-2r\cos{\alpha} $.

Il rapporto $ \frac{PA}{PB}=\sqrt{\frac{PA}{PH}}=\sqrt{\frac{2R\cos{\alpha}}{2R\cos{\alpha}-2r\cos{\alpha}}}=\sqrt{\frac{R}{R-r}}= c $

[EvaristeG]

Non è un po' la stessa cosa di questo?