Sia $ABC$ un triangolo e sia $L$ il punto medio di $B$. La parallela alla bisettrice interna di $\angle{BAC}$ passante per $L$ incontra $AB,AC$ in $X,Y$ rispettivamente. Sia $Z$ su $XY$ tale che $XY=YZ$ e sia $D$ l'intersezione delle rette $BY$ e $CZ$.
Dimostra che $XY$ è parallela alla bisettrice interna di $\angle{BDC}$.
31. Bisettrici parallele
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Ido Bovski
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- Iscritto il: 07 mag 2012, 11:51
Re: 31. Bisettrici parallele
Metto la figura perchè potrebbe esserci più di una configurazione e almeno così ci si capisce.
Lemma. $\triangle XBY\cong \triangle YCZ$.
Dimostrazione.
Per ipotesi $BL=LC$ e $XY=YZ$, allora $[XBY]=[XCY]=[YCZ]$. Inoltre, poiché $AA'\parallel XY$, abbiamo che $\angle YXB=\angle BAA'=\angle ZYC$. Ne segue facilmente la tesi.
Per il lemma dimostrato, $\angle DYZ=\pi -\angle BYX=\pi- \angle CZY=\angle LZC=\angle DZY$.
Allora, poiché $DD'$ è la bisettrice di $\angle BDC$, abbiamo che $2\angle D'DZ=\angle D'DZ+\angle BDD'=\angle D'DZ+\angle KDY=\pi-\angle YDZ=\angle DYZ+\angle DZY=2\angle DZY$.
Pertanto $\angle D'DZ=\angle DZY$ e $XY\parallel DD'$, come desiderato.
p.s. qual è la fonte del problema?
Lemma. $\triangle XBY\cong \triangle YCZ$.
Dimostrazione.
Per ipotesi $BL=LC$ e $XY=YZ$, allora $[XBY]=[XCY]=[YCZ]$. Inoltre, poiché $AA'\parallel XY$, abbiamo che $\angle YXB=\angle BAA'=\angle ZYC$. Ne segue facilmente la tesi.
Per il lemma dimostrato, $\angle DYZ=\pi -\angle BYX=\pi- \angle CZY=\angle LZC=\angle DZY$.
Allora, poiché $DD'$ è la bisettrice di $\angle BDC$, abbiamo che $2\angle D'DZ=\angle D'DZ+\angle BDD'=\angle D'DZ+\angle KDY=\pi-\angle YDZ=\angle DYZ+\angle DZY=2\angle DZY$.
Pertanto $\angle D'DZ=\angle DZY$ e $XY\parallel DD'$, come desiderato.
p.s. qual è la fonte del problema?
Re: 31. Bisettrici parallele
Praticamente equivalente alla mia.. 
(il problema viene da una dispensa e non so dirti la fonte originale)
(il problema viene da una dispensa e non so dirti la fonte originale)