Assi radicali e Lemoine

[Kfp]

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo e sia $K$ il suo punto di Lemoine. Tracciamo le antiparallele ai tre lati passanti per $K$, e chiamiamo $D$ ed $E$ le intersezioni dell'antiparallela ad $AB$ con $AC$ e $BC$. Similmente definiamo i punti $F$ e $G$ per l'antiparallela a $BC$ e $H$ e $I$ per l'antiparallela ad $AC$.

$(a)$ Dimostrare che i quadrilateri $ABDE$, $BCFG$ e $ACHI$ sono ciclici. (Molto banale)
$(b)$ Dimostrare che il centro radicale delle tre circonferenze del punto $(a)$ è $K$.

Ricordiamo che una retta antiparallela al lato $AB$ di un triangolo è la simmetrica di una retta parallela ad $AB$ rispetto alla bisettrice uscente da $C$.

P.S. Il punto $(a)$ è veramente molto facile, ma senza metterlo avrei dovuto dichiarare quelle ciclicità direttamente nel testo, cosa moralmente scorretta

[bĕlcōlŏn]

Per gli antiparallelismi $\angle FIK = \gamma = \angle IFK$. Dunque $KIF$ è isoscele e $KI=KF$. E' un attimo mostrare anche le altre uguaglianze $KD=KG$ e $KE=KH$. Inoltre $AK$ è simmediana in $ABC$ mentre $FG$ è antiparallelo al lato $BC$. Con una simmetria rispetto alla bisettrice di $A$ si dimostra subito che $AK$ è mediana di $AFG$ e dunque $KF=KG$. Analogamente $BK$ e $CK$ sono mediane in $BIH$ e $CDE$. Dunque si giunge a $KD=KE=KF=KG=KH=KI$ e quindi $DEFGHI$ è ciclico di centro $K$ e chiamo $\gamma$ questa circonferenza.

Ma allora $K$ è centro radicale fra $\gamma$, $ABDE$ e $ACHI$, poiché sarebbe $IH \cap DE$, dove $IH$ è asse radicale fra $\gamma$ e $ACHI$ e $DE$ è asse radicale fra $\gamma$ e $ABDE$. Quindi $K$ sta sull'asse radicale di $ABDE$ e $ACHI$, ma anche $A$ sta su questo asse radicale. Quindi $AK$ è l'asse radicale di $ABDE$ e $ACHI$. Analogamente $BK$ e $CK$ sono gli altri due assi radicali delle restanti coppie di circonferenze definite nel punto $(a)$. Quindi $K$ è centro radicale.