Allineamento apparentemente inutile II

[EvaristeG]

Sia $ABC$ un triangolo scaleno, di incentro $I$. Sia $P$ la proiezione di $I$ sull'altezza da $A$, sia $D$ la proiezione di $I$ su $BC$; sia infine $Q$ la seconda intersezione della circonferenza circoscritta ad $ABC$ con la circonferenza di diametro $IA$.
Dimostrare che $P$, $D$, $Q$ sono allineati.

[snake]

ot: dopo tanti allineamenti apparentemente inutili ci fai dedurre banalmente la congettura di poincaré?

[Kfp]

Allora (Bepi fermati qui), invertiamo nuovamente nell'inscritta. La tesi diventa che gli inversi dei tre punti siano conciclici con l'incentro. L'inverso di $D$ è $D$ stesso, l'inverso di $Q$ è la proiezione (che chiamiamo $K$) di $D$ su $EF$ (riciclando la notazione e il risultato dell'altro problema), e chiamiamo $P'$ l'inverso di $P$, che chiaramente sta su $PI$ perchè questa retta è perpendicolare alla corda staccata dall'altezza per $A$ di $ABC$. Ora, notiamo che ci basta dimostrare che $P'$ sta su $EF$, poichè questo dimostrerebbe che $\widehat{DKP'}$ è retto, e poichè $\widehat{DIP'}$ è retto per ovvi motivi, questo ci porterebbe proprio alla ciclicità che cerchiamo. Ora, questo è equivalente a dimostrare che l'inverso di $P'$ (cioè $P$) sta sull'inverso di $EF$, ossia sulla circonferenza di diametro $AI$. Ma questo è banalmente vero dato che $\widehat{IPA}$ è retto per ipotesi, e dunque la tesi è dimostrata.