65. Un simpatico incerchio easy

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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NoAnni
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65. Un simpatico incerchio easy

Messaggio da NoAnni »

L'incerchio di un triangolo $ABC$ tocca i lati $BC$, $CA$, e $AB$ nei punti $D$, $E$ e $F$, rispettivamente. Sia $K$ il simmetrico di $D$ rispetto all'incentro. Le rette $DE$ e $FK$ si intersecano in $S$. Dimostrare che $AS$ è parallela a $BC$.
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Lasker
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Re: 65. Un simpatico incerchio easy

Messaggio da Lasker »

Sia $X$ l'intersezione di $ES$ con il prolungamento di $BC$. La tesi è equivalente a dimostrare che $\angle ASX\cong \angle BXS$, in quanto gli angoli sarebbero alterni interni rispetto alle rette $AS$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $SX$.
Ora, $\angle EDX\cong \angle EKD$ perché insistono sullo stesso arco, e ciò implica $\angle DXE\cong \angle EDK$ perché complementari di angoli congruenti. Ma allora, visto che $\angle SEA\cong \angle KDE\cong \angle KFE$ perché insistono sullo stesso arco, vale la relazione $\angle SEA\cong\angle KFE\cong \angle KDE\cong \angle DXE $, . Prolungando $DE$ ed $FK$ e chiamando la loro intersezione $Y$, è immediato verificare che $\angle FYD\cong \angle ESD$ perché complementari dello stesso angolo $\angle SDY$, dunque $SFEY$ è ciclico. Ma allora vale $\angle ASE\cong \angle YFE\cong \angle KDE\cong \angle DXE$ sempre per considerazioni sugli angoli alla circonferenza, la tesi è quindi dimostrata.
EDIT: ho visto adesso che ho confuso i dati, infatti quando hai scritto $DE$ ed $FK$ ho letto $EK$ e $DF$, ma visto che la costruzione è simmetrica, dovrei aver dimostrato lo stesso la tesi originale.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

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NoAnni
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Re: 65. Un simpatico incerchio easy

Messaggio da NoAnni »

OK mi sembra giusto :) Scusate il ritardo
Puoi andare con il prossimo

Si può anche andare con le polari volendo fare del male al problema :)
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