Orbene, tentiamo quest'arrembaggio all'analisi in più variabili...
Intanto mettiamo questo nostro triangolo, che se non ti dispiace chiamerò $\triangle ABC$, nel piano $Oxy$, in modo che $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$.
Prendiamo un generico punto $P$ di coordinate $(x,y)$ e definiamo $$f_A(x,y)=dist(P,A)=\sqrt{x^2+y^2} \\ f_B(x,y)=dist(P,B)=\sqrt{(x-1)^2+y^2} \\ f_C(x,y)=dist(P,C)=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$$
Ovviamente quindi $$f(x,y)=14\cdot f_A(x,y)+13\cdot f_B(x,y)+15\cdot f_C(x,y)$$
Sfruttando ora il fatto che la derivata di $g(x)=\sqrt x$ è $g'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, ci calcoliamo il gradiente delle tre funzioni, che risulta essere (risparmiatemi i passaggi stupidi) $$\nabla f_A(x,y)=\left\langle\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\rangle \\ \nabla f_B(x,y)=\left\langle\dfrac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}\right\rangle \\ \nabla f_C(x,y)=\left\langle\dfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}},\dfrac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\right\rangle$$
Come ben si nota, ciascuno di essi è un vettore di lunghezza unitaria, la cui direzione è la stessa della retta che collega $P$ al rispettivo vertice e il cui verso è dalla parte opposta del vertice rispetto a $P$.
Il gradiente della somma è ovviamente la somma dei gradienti per la linearità della derivata; per trovare un punto critico -che speriamo vivamente essere il minimo-, dobbiamo imporre $$\nabla f(x,y)=\langle0,0\rangle$$ quindi alla fine ci troviamo a dover sistemare tre vettori di lunghezza $13,14,15$ in modo che sommino $0$.
Allora, notiamo intanto che sono le misure dei lati di un triangolo (per disuguaglianza triangolare -- inoltre $13=6+7,14=6+8,15=7+8$), quindi se li disponiamo a triangolo con i versi tutti nello stesso senso otteniamo una figura chiusa, ovvero la somma vettoriale è nulla. (occhio: in realtà non li possiamo disporre a triangolo, devono avere il punto di applicazione in comune, ma basta traslarli) Ora inizia la parte di conti!
Chiamiamo $\alpha$ l'angolo che c'è tra il vettore di $13$ e quello di $15$, che è uguale all'angolo $\angle BPC$; definiamo similmente $\beta$ e $\gamma$. Ora con un bel disegnino vediamo che se trasliamo i vettori a formare un triangolo, i suoi angoli sono di $\pi-\alpha$ e cicliche; quindi con Carnot ci calcoliamo i coseni: $$14^2=13^2+15^2-2\cdot13\cdot15\cdot\cos(\pi-\alpha) \\ 13^2=14^2+15^2-2\cdot14\cdot15\cdot\cos(\pi-\beta) \\ 15^2=13^2+14^2-2\cdot13\cdot14\cdot\cos(\pi-\gamma)$$ ovvero $$\displaystyle \cos\alpha=-\frac{33}{65},\;\;\cos\beta=-\frac{3}{5},\;\;\cos\gamma=-\frac{5}{13}$$
abbiamo fatto un passettino avanti, ma dobbiamo determinare $AP,BP,CP$... intanto diamogli un nome decente: $AP=a$ e cicliche; dato che mi voglio male, tento di impostare un sistema con Carnot, che alla peggio si risolverà con wolframalpha...
$$\begin{cases}2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha \\ 1=c^2+a^2-2ac\cos\beta \\ 1=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \end{cases}$$
Ora, WA ci dice che per la soluzione di questo sistema vale $f(P)=\sqrt{730}$, ma sinceramente non saprei risolvere quel sistema, se non provando a sostituire cose (e ciò è molto male in un sistema di secondo grado), quindi potrebbe esserci un metodo più intelligente per trovare il nostro caro $P$.
Bene, abbiamo quindi ricavato (prima o poi tenterò di ricavarlo da me) che in corrispondenza del punto in cui si annulla il gradiente abbiamo $f(P)=\sqrt{730}$; siamo già molto felici che il punto critico sia uno solo, controlliamo solo che sia un minimo e non un massimo (e se così non fosse, uno si arrabbia di brutto): prendiamo ad esempio il circocentro e otteniamo $f(O)=\dfrac{\sqrt2}2(13+14+15)=21\sqrt2$, che è fortunatamente maggiore di $f(P)$. Ora suppongo che questo mi basti a concludere: dovrei controllare sui bordi per vedere se ho un valore più basso, anche se il gradiente non si annulla (cosa che può accadere), ma questo non dovrebbe poter succedere dato che per scendere dovrei risalire, ma non ho un altro punto critico; non so se sia legittimo quello che ho detto, se no mi servirebbe una cosa tipo convessità della funzione, che si dovrebbe fare controllando la positività della derivata rispetto a $x$ dellla componente $x$ del gradiente e la stessa cosa con $y$... (in questo caso effettivamente vengono entrambi positivi)
Qualcuno mi aiuta a formalizzare l'ultima parte?