Triangoli fasulli e fuorvianti

[Kfp]

Sia $\Delta ABC$ un triangolo, e sia $r$ una qualunque retta del piano. Siano $D = r \cap BC$, $E = r \cap AC$ e $F = r \cap AB$. Sia $O_{A}$ il circocentro del triangolo $\Delta AEF$, $O_{B}$ quello di $\Delta BDF$ e $O_{C}$ quello di $\Delta CDE$. Dimostrare che l'ortocentro di $\Delta O_{A}O_{B}O_{C}$ sta su $r$.

[desc26]

Testo nascosto:

Sia $X:=\Gamma_{CDE} \cap \Gamma_{BDF}$: vale $\widehat{FXE}=\widehat{FXD}+\widehat{DXE}=\widehat{FBD}+\widehat{DCE}=\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=\widehat{BAC}=\widehat{FAE}$ dove le uguaglianze tra angoli sono con angoli orientati e modulo $180^{\circ}$; quindi $AEFX$ è ciclico, cioè $X \in \Gamma_{AFE}$.
Inverto in $X$: $D$ va in $D'$, $E$ va in $E'$, $F$ va in $F'$, con $XD'E'F'$ ciclico;$\Gamma_{AEF}$ che passa per $X$ va in $E'F'$ e $O_A$ va nel simmetrico di $X$ rispetto a $E'F'$ (e analoghe cicliche). Poichè $X \in \Gamma{D'E'F'}$, le proiezioni di $X$ su $D'E'$, $E'F'$, $F'D'$ sono allineate sulla retta di Simson del punto $X$ rispetto al triangolo $D'E'F'$, quindi (per omotetia di centro $X$ e fattore 2) $O_A'$, $O_B'$ e $O_C'$ sono allineati.
Quindi $XO_AO_BO_C$ è ciclico.
Sia $H$ l'ortocentro di $O_AO_BO_C$: se $H$ coincide con uno tra $D$, $E$, $F$ la tesi è vera.
Altrimenti l'antipunto di Steiner della retta $HD$ rispetto al triangolo $O_AO_BO_C$ è $X$: infatti una simmetria rispetto ad $O_BO_C$ manda $D$ in $X$, e $X$ sta sulla circonferenza circoscritta ad $O_AO_BO_C$ ed è distinto dal simmetrico di $H$ rispetto ad $O_BO_C$.
Analogamente gli antipunti di Steiner di $HE$ e di $HF$ sono sempre $X$.
Quindi le rette $HD$, $HE$, $HF$ coincidono e la tesi è dimostrata.

Nota: sia dato un triangolo $ABC$ e detti $H$ l'ortocentro, $\Gamma$ la circoscritta, $h$ il fascio di rette passanti per $H$, e $f: h \to \Gamma$ la funzione che associa ad ogni retta di $h$ il suo antipunto di Steiner ($\in \Gamma$). Allora $f$ è invertibile, e se $r \in h$, il coniugato isogonale di $f(r)$ è il punto all'infinito comune al fascio di rette perpendicolari ad $r$.

[Kfp]

Testo nascosto:

Bella!
La mia era a grandi linee uguale, solo che dimostrava la ciclicità senza invertire e nella conclusione invece degli antipunti usa il noto lemma che dice che la retta di Simson di un punto $ P $ passa per il punto medio di $ PH $, con $ H $ ortocentro, ma che in realtà con gli antipunti ha tutto a che fare.