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[desc26]

Sia $ABC$ un triangolo, $\gamma$ la sua circonferenza circoscritta.
Siano $H$ il suo ortocentro; siano $A_1$, $B_1$ e $C_1$ i piedi delle altezze.
Siano $M$ il punto medio di $BC$, $A'$ il diametralmente opposto di $A$ in $\gamma$.
Sia $D=BC \cap B_1C_1$, cioè il quarto armonico di $A_1$ rispetto a $BC$.
Sia $E$ l'altra intersezione tra $\gamma$ e la circonferenza di diametro $AH$.

(1) Dimostrare che $A'$, $M$, $H$, $E$ sono allineati e che $M$ è il punto medio di $HA'$.
(2) Dimostrare che la circonferenza di diametro $AH$ è perpendicolare alla circonferenza di diametro $BC$.
(3) Dimostrare che $E$ è il centro di rotomotetia tra i segmenti $C_1B_1$ e $BC$; che $A$, $E$, $D$ sono allineati; che $H$ è ortocentro di $AMD$.

[matpro98]

$1$) $A',M,H$ sono allineati, con $HM=MA'$, come è noto (vettori). Inoltre $\angle A'EA=\pi/2$ perchè $AA'$ è diametro.
$2$) Sia $H_A$ il punto medio di $AH$. $\angle BC_1C=\pi/2$, $\angle BC_1M=\beta \rightarrow \angle MC_1C=\pi/2 -\beta$. Inoltre $\angle C_1AH=\pi/2 -\beta \rightarrow \angle HC_1H_A=\beta \rightarrow \angle MC_1H_A=\pi/2$, da cui la tesi perchè $MC_1$ è tangente alla circonferenza di diametro $AH$.

[matpro98]

$3$) Dimostriamo la rotomotetia separando la rotazione dall'omotetia. Sfruttando la congrenza fra gli angoli alla circonferenza prima su $\gamma$ poi sulla circ. di diametro $AH$ abbiamo $\angle B_1EC_1=\angle BEC=\alpha$. Per l'omotetia spero basti il fatto che i triangoli $\Delta B_1EC_1$ e $\Delta BEC$ sono simili (sempre angoli alla circonferenza).
$\gamma = \angle BHA_1= \angle AHB_1= \angle AC_1B_1= \angle DC_1B$ quindi $\Delta DBC_1$ simile a $\Delta DCB_1$, perciò $DB \cdot DC=DC_1 \cdot B_1 \rightarrow D$ appartiene all'asse radicale fra le due circonferenze, che è $AE$.
$H,M,A'$ allineati (noto) e $E,H,A'$ allineati perchè $\angle HEA=\pi/2$, quindi $M,E,H$ allineati e quindi $H$ ortocentro di $\Delta AMD$