Angoli a caso

[Troleito br00tal]

Sia $ABC$ un triangolo di circoscritta $\omega$, sia $d$ la simmediana uscente da $A$ e sia $D=d \cap \omega$. Sia $K$ il simmetrico di $B$ rispetto a $D$. Dimostrare che $A \hat C B=D \hat C K$.

[scambret]

L'eleganza dei complessi mi fa restare sempre più spesso a bocca aperta.
Sia T il punto di intersezione tra la tangente di B e di C e M punto medio.
O dicendo che TB è perpendicolare a OB e TC perpendicolare a OC oppure ricordando che T è l'inverso di M rispetto a $\omega$ si ricava che $t=\displaystyle \frac{2bc}{b+c}$. Ora A, D e T sono allineati e $d\bar{d}=1$.
Facendo il conto si trova $\displaystyle d=\frac{ab+ac-2bc}{2a-b-c}$. Per K basta notare che $k=2d-b$
Ora $\angle ACB = \angle DCK$ se e solo se $$\frac{a-c}{b-c}=\frac{d-c}{k-c}$$ e sostituendo tutto viene un'identità.

[Troleito br00tal]

Chiaramente giusta Qualcuno in sintetica?

[Kfp]

Testo nascosto:

$\widehat{CDK}= \alpha$ per ovvi motivi, il rapporto dei seni della simmediana è il rapporto dei lati (perchè vi fate il conto con la mediana e lo ribaltate o se volete fare i fighi perchè ABDC è armonico, che poi è ovviamente la stessa cosa). Visto che $KD=DB$, $\Delta ABC$ e $\Delta KDC$ sono simili e dunque fine