Triangoli circumceviani, cerchi e concorrenze

[Francesco Sala]

Siano dati sei punti $ A,A_1,B,B_1,C,C_1 $ su una circonferenza $ \omega $ tali che le rette $ AA_1,BB_1,CC_1 $ concorrono in un punto $ P $. Il cerchio circoscritto al triangolo formato dalle rette $ AB,AC,B_1C_1 $ interseca nuovamente $ \omega $ in $ X $, mentre quello circoscritto al triangolo di lati $ A_1B_1,A_1C_1,BC $ interseca $ \omega $ in $ X_1 $; similmente definiamo i punti $ Y,Y_1,Z,Z_1 $.
Dimostrare che le rette $ XX_1,YY_1,ZZ_1 $ concorrono.