Quando la tripolare contiene il circocentro

[Francesco Sala]

Sia dato un triangolo $ ABC $ con circocentro $ O $. Chiamiamo $ X,Y,Z $ i circocentri dei cerchi $ \odot(BOC),\odot(COA),\odot(AOB) $.
a) Dimostrare che le circonferenze $ \odot(AYZ),\odot(BXZ),\odot(CXY) $ concorrono in un punto $ V $.
b) Dimostrare che la tripolare di $ V $ rispetto ad $ ABC $ passa per $ O $.

NOTA: Se in un triangolo $ ABC $ prendiamo un punto $ P $, supponiamo che le rette $ AP,BP,CP $ incontrino $ BC,CA,AB $ in $ A_1,B_1,C_1 $; se $ B_1C_1 \cap BC=A_2 $ e analoghi, allora (per il teorema di Desargues sui due triangoli $ ABC $ e $ A_1B_1C_1 $) i punti $ A_2,B_2,C_2 $ sono allineati: tale retta si dice tripolare del punto $ P $ rispetto ad $ ABC $.

[Talete]

Sia dato un triangolo $ ABC $ con circocentro $ O $. Chiamiamo $ X,Y,Z $ i circocentri dei cerchi $ \odot(BOC),\odot(COA),\odot(AOB) $.
a) Dimostrare che le circonferenze $ \odot(AYZ),\odot(BXZ),\odot(CXY) $ concorrono in un punto $ V $.
b) Dimostrare che la tripolare di $ V $ rispetto ad $ ABC $ passa per $ O $.

NOTA: Se in un triangolo $ ABC $ prendiamo un punto $ P $, supponiamo che le rette $ AP,BP,CP $ incontrino $ BC,CA,AB $ in $ A_1,B_1,C_1 $; se $ B_1C_1 \cap BC=A_2 $ e analoghi, allora (per il teorema di Desargues sui due triangoli $ ABC $ e $ A_1B_1C_1 $) i punti $ A_2,B_2,C_2 $ sono allineati: tale retta si dice tripolare del punto $ P $ rispetto ad $ ABC $.

Ciao! Forse sono un po' in ritardo per rispolverare questo topic, ma il problema mi interessa particolarmente...
potresti darmi cortesemente qualche hint per risolverlo? Grazie <3

P.S.: io non sono Talete, ma gli ho rubato l'account...

[EvaristeG]

P.S.: io non sono Talete, ma gli ho rubato l'account...

Se poi tu dicessi chi sei sarebbe pure carino

[Francesco Sala]

Per adesso metto qualche suggerimento per il punto a) (con questi si possono costruire molti approcci possibili):

Testo nascosto:

1) La tesi di a) vale anche se si prende un punto $ P $ qualsiasi al posto di $ O $
2) Sia $ A_1B_1C_1 $ il triangolo antipedale di $ P $: allora...
3) Ricordiamo un fatto interessante: in un quadrilatero $ ABCD $ i cerchi dei nove punti di $ ABC,ABD,BCD,ACD $ e i cerchi passanti per le proiezioni di un vertice sulle rette formate dagli altri tre concorrono in uno stesso punto
4) Proviamo a invertire in $ P $
5) Ricordiamo un altro fatto interessante: dati due triangoli $ ABC,XYZ $ i cerchi $ (BCX),(CAY),(ABZ) $ concorrono se e solo se $ (YZA),(ZXB),(XYC) $ concorrono